结论：一审判决生效后，当事人未申请二审的，在符合特定条件下，仍然可以提请院长监督程序，但这种情况较为特殊且有限制。

详细分析：

1. 院长监督程序的基本概念：

   • 院长监督程序，通常指的是法院内部的一种监督机制，用于纠正已经发生法律效力的判决、裁定中的错误。这种程序并非普遍适用的上诉或再审程序，而是基于特定情况下的内部审查机制。

2. 一审判决生效后的法律状态：

   • 一审判决生效后，意味着该判决已经具有法律效力，当事人应当履行判决内容。若当事人未在法定期限内提起上诉，则一审判决成为终审判决，具有终局性。

3. 提请院长监督程序的条件：

   • 发现新证据：如果当事人在一审判决生效后发现了新的证据，且这些证据足以推翻原判决，那么可以向法院申请再审，而在某些特定情况下，也可能通过院长监督程序来启动再审。但这种情况较为严格，需要证据确实充分且符合法律规定的条件。
   • 判决存在错误：如果一审判决存在明显的法律适用错误或事实认定错误，且这种错误严重影响了判决的公正性和合法性，那么当事人或相关利害关系人有可能通过院长监督程序来寻求纠正。但这种情况通常也需要通过正式的再审程序来实现，院长监督程序可能作为启动再审的一种途径或内部机制。
   • 特殊程序要求：在某些特殊情况下，如涉及国家利益、社会公共利益或他人合法权益的判决，如果当事人未申请二审但判决确实存在错误，法院可能依职权启动院长监督程序进行审查。但这种情况较为罕见，且通常需要严格的法律程序和证据支持。

4. 实际操作中的限制：

   • 程序严格性：院长监督程序并非随意启动的，它需要严格的法律程序和证据支持。当事人不能仅凭主观认为判决有误就提请院长监督程序。
   • 时效性：即使符合提请院长监督程序的条件，也需要注意时效性问题。一般来说，再审申请或院长监督程序的提请需要在一定期限内提出，逾期将可能丧失权利。
   • 内部性：院长监督程序是法院内部的一种监督机制，其启动和审查过程通常不对外公开。因此，当事人在提请时需要了解并接受这一特点。

5. 建议与注意事项：

   • 及时咨询：如果当事人认为一审判决有误且未申请二审，建议及时咨询专业律师以了解具体的法律程序和可能性。
   • 准备充分证据：如果打算提请院长监督程序或申请再审，需要准备充分的证据来支持自己的主张。
   • 遵守法律程序：在整个过程中，需要严格遵守法律程序和规定，以确保自己的权益得到合法保护。

总结：一审判决生效后，当事人未申请二审的，在符合特定条件下仍然可以提请院长监督程序，但这种情况较为特殊且有限制。如果当事人认为判决有误且希望寻求纠正，建议及时咨询专业律师以了解具体的法律程序和可能性。