结论：达到退休年龄但未终止劳动合同，继续工作一个月后协商解除劳动合同，是否需要支付相关费用（如经济补偿金等），需根据具体情况判断，主要包括劳动者是否享受基本养老保险待遇、双方协商结果以及地方司法实践等因素。

1. 劳动者享受基本养老保险待遇的情况

• 法律规定：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同终止。这意味着，如果劳动者在达到退休年龄时已经享受基本养老保险待遇，劳动合同自然终止，双方基于劳动关系的权利义务在法律层面上结束。
• 协商解除劳动合同：在此情况下，如果双方协商解除劳动合同，且没有争议，通常不需要支付额外的经济补偿金，因为劳动合同的终止是基于法律规定，而非用人单位的单方面解除。但具体是否需要支付其他费用（如未休年假的工资等），需根据双方协商结果和实际情况确定。

2. 劳动者未享受基本养老保险待遇的情况

• 法律规定与地方实践：根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止。然而，在实际操作中，存在劳动者达到退休年龄但因累计缴费年限不足等原因无法享受基本养老保险待遇的情况。对此，各地司法实践存在差异：
  • 部分地区认为劳动合同可继续履行：如广东省等地区的司法实践认为，仅达到退休年龄并不必然导致劳动合同终止。若劳动者在达到退休年龄前已建立劳动关系，且双方未明确终止劳动关系，劳动者仍继续提供劳动、用人单位仍继续支付劳动报酬的，双方的劳动关系可以继续存续。在这种情况下，如果双方协商解除劳动合同，可能需要根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定支付经济补偿金，具体取决于解除劳动合同的原因和双方协商结果。
  • 部分地区认为劳动合同终止：如江苏省等地则倾向于严格遵循法律规定，认为只要劳动者达到法定退休年龄，无论是否享受基本养老保险待遇，劳动合同即自然终止。在这种情况下，协商解除劳动合同可能不需要支付经济补偿金，但同样需根据双方协商结果和实际情况确定是否需要支付其他费用。

3. 协商解除劳动合同的具体建议

• 明确解除原因：在协商解除劳动合同时，双方应明确解除的原因，以便确定是否需要支付经济补偿金或其他费用。
• 参考地方司法实践：由于地方司法实践存在差异，双方在协商解除劳动合同时，可以参考当地的相关案例和司法解释，以更准确地判断是否需要支付相关费用。
• 签订书面协议：无论是否需要支付相关费用，双方都应签订书面协议，明确解除劳动合同的时间、原因、是否需要支付费用以及支付的具体金额等事项，以避免后续争议。

总结：达到退休年龄但未终止劳动合同，继续工作一个月后协商解除劳动合同是否需要支付相关费用，需根据劳动者是否享受基本养老保险待遇、双方协商结果以及地方司法实践等因素综合判断。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的解答。