可以尝试要回付款，但能否成功取决于多种因素，以下从不同角度为你分析：
- 从合同关系角度
- 虽然你没有和汽贸城签订书面合同，但根据《民法典》规定，当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。在购车交易中，如果双方有实际的沟通、协商过程，比如就车辆型号、价格、交付时间等达成一致，即使没有书面合同，也可能被认定为存在口头合同关系。
- 转账记录可以作为你履行付款义务的证据，证明你已经按照约定向汽贸城支付了款项。如果能找到其他证据，如与汽贸城销售人员的聊天记录、通话录音等，进一步证明双方存在购车合意，那么你要求汽贸城返还付款的诉求就有更充分的依据。因为如果汽贸城没有按照约定交付车辆，就构成了违约，你有权要求其返还已支付的款项。
- 从发票角度
- 发票是交易的重要凭证，但缺乏发票并不直接影响你要求返还付款的权利。不过，发票在一定程度上可以证明交易的真实性和合法性。如果汽贸城拒绝开具发票，可能存在偷税漏税等违法行为，你可以向税务部门举报。但这与你能否要回付款是两个不同的问题，税务部门的处理结果可能会对你主张权利产生一定的辅助作用。
- 从举证和诉讼角度
- 如果与汽贸城协商无果，你可能会考虑通过诉讼途径解决。在这种情况下，你需要承担举证责任，证明你与汽贸城之间存在购车交易以及你已经支付了款项。转账记录是关键证据之一，但为了增强证据的证明力，你还需要尽可能收集其他相关证据，如上述提到的聊天记录、通话录音等。
- 如果证据充分，能够形成一个完整的证据链，证明汽贸城没有履行交付车辆的义务，那么法院很可能会支持你的诉求，判决汽贸城返还你的付款。但如果证据不足，无法证明交易的存在或汽贸城的违约行为，那么你要求返还付款的诉求可能会面临一定的困难。
建议：你可以先与汽贸城进行友好协商，明确指出他们没有签订合同、开具发票以及未交付车辆的问题，要求他们返还你的付款。如果协商不成，你可以收集相关证据，向当地消费者协会投诉或者向法院提起诉讼。在处理过程中，如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，都可以随时向我咨询。