结论：工人在生活区吃完饭后下楼梯去洗碗，在楼梯上滑倒摔伤，在一定条件下可以认定为工伤。具体分析如下：
法律背景与依据
根据《工伤保险条例》第十四条的规定，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：
- 在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的；
- 工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的；
- 在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的；
- 患职业病的；
- 因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的；
- 在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的；
- 法律、行政法规规定应当认定为工伤的其他情形。
具体分析
工作场所的延伸：
- 生活区作为工人日常生活和休息的场所，若其与工作区域紧密相连，且工人在此区域内的活动与工作有直接或间接的关联，可视为工作场所的合理延伸。在此案例中，工人吃完饭后下楼梯去洗碗，这一行为可视为工作之余的合理生活活动，且生活区与工作区域通常相连，因此可以认为是在工作场所内。
工作时间的界定：
- 工作时间不仅限于实际从事工作的时间，还包括工作前后的合理时间，如准备工作时间、收尾工作时间等。工人吃完饭后下楼梯去洗碗，可视为工作间隙的合理休息和准备活动，若此行为未超出合理的时间范围，可视为工作时间的延伸。
工作原因的认定：
- 关键在于判断工人的受伤是否与工作有直接或间接的关联。在此案例中，工人下楼梯去洗碗的行为，虽非直接从事工作，但属于工作之余的合理生活需求，且该行为与工作区域紧密相连。若楼梯本身存在安全隐患，如湿滑、照明不足等，且这些隐患与工作环境或工作条件有关，那么工人的受伤可视为与工作有一定的关联性。
实务建议
及时报告与申请：
- 工人受伤后，应立即向用人单位报告，并尽快申请工伤认定。用人单位应在规定时间内（通常为30日内）向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
收集证据：
- 工人应尽可能收集与受伤相关的证据，如现场照片、证人证言、医疗记录等，以证明受伤与工作有关。
法律途径：
- 若用人单位未按时提出工伤认定申请，或社会保险行政部门未认定为工伤，工人或其近亲属可以在规定时间内（通常为1年内）直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请，并可通过法律途径维护自身权益。
可能的法律后果
- 若被认定为工伤，工人将享受工伤保险待遇，包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残补助等。
- 若未被认定为工伤，工人可能需通过其他途径（如民事诉讼）寻求赔偿，但赔偿范围和标准可能与工伤保险待遇不同。
总结：工人在生活区吃完饭后下楼梯去洗碗，在楼梯上滑倒摔伤，在一定条件下可以认定为工伤。关键在于判断受伤是否发生在工作场所内、是否在工作时间内、以及是否与工作有直接或间接的关联。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。