核心结论：送餐途中发生交通事故私了后发现受伤严重，您可以通过以下方式处理：首先尝试与对方协商补充赔偿；协商不成可向法院起诉；同时注意诉讼时效问题。以下为详细说明：

1. 尝试与对方协商补充赔偿

   • 法律依据与合理性：在私了时，可能由于当时伤情未完全显现，双方对赔偿范围和金额的认知存在局限。当发现受伤更严重时，从公平合理的角度出发，您有权要求对方增加赔偿。例如，私了时可能只考虑了表面的擦伤、扭伤等轻微伤害的医疗费用，但后续发现存在骨折、内脏损伤等更严重的情况，这些后续治疗产生的费用理应由责任方承担。
   • 协商要点：在协商过程中，要向对方详细说明新发现的伤情以及后续治疗所需的费用，如医疗费、护理费、营养费等。可以提供医院的诊断证明、病历、费用清单等证据，以增强说服力。同时，要保持冷静和理性，以友好协商的态度与对方沟通，争取达成一个双方都能接受的补充赔偿协议。

2. 向法院起诉

   • 起诉条件：如果与对方协商无法达成一致，您可以向法院提起诉讼。起诉的条件包括有明确的被告，即交通事故的责任方；有具体的诉讼请求和事实、理由，例如要求对方赔偿因伤情加重而产生的各项费用，并说明私了后发现伤情严重的事实；属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
   • 证据收集：为了支持您的诉讼请求，需要收集充分的证据。除了前面提到的医院诊断证明、病历、费用清单等，还可以收集交通事故现场的照片、视频，如果有目击证人，可以请证人出具证人证言。另外，私了时签订的协议也可以作为证据，证明双方曾经就赔偿事宜进行过协商，但当时未考虑到伤情加重的情况。
   • 诉讼流程：首先，您需要撰写起诉状，明确被告信息、诉讼请求、事实与理由等内容，并向有管辖权的法院提交起诉状及相关证据。法院受理案件后，会安排开庭审理。在庭审过程中，您需要向法庭陈述事实，出示证据，进行辩论等。最后，法院会根据双方提供的证据和法律规定作出判决。

3. 注意诉讼时效

   • 时效规定：根据法律规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。在您的情况下，从发现受伤严重之日起开始计算诉讼时效。
   • 时效中断：如果在诉讼时效期间内，您向对方提出过补充赔偿的要求，或者对方同意履行补充赔偿义务等，都会导致诉讼时效中断，从中断、有关程序终结时起，诉讼时效期间重新计算。所以，在协商过程中，要注意保留相关证据，以证明诉讼时效的中断情况。

在处理此类问题时，如果您觉得自行处理比较困难，可以随时向我咨询，我会根据具体情况为您提供详细的法律建议和指导。