结论前置：在刑事案件中，嫌疑人被羁押期间若因严重疾病需要外出就医，是可以提出申请的，但需满足一定条件并遵循严格的审批程序。
一、可以外出看病的情况
突发的急性病症：
- 如果嫌疑人在羁押期间突发急性病症，如心脏病发作、急性阑尾炎等，这些疾病若不及时治疗，可能会危及生命健康。在这种情况下，看守所或拘留所通常会迅速安排就医。
看守所或拘留所医疗条件无法满足的疾病：
- 对于需要特殊检查设备或特定治疗手段的疾病，而看守所或拘留所的医疗条件有限，无法满足其诊断和治疗需求时，嫌疑人可以申请外出就医。例如，某些需要复杂手术或特殊药物的疾病。
二、申请与审批程序
提出申请：
- 嫌疑人或其近亲属需向看守所或拘留所提出请假出所看病的申请，并提供相关病情证明材料，如医院的诊断证明、病历等。这些材料是审批过程中重要的依据。
初步审核与进一步检查：
- 看守所或拘留所在收到申请后，会进行初步审核，并可能要求嫌疑人到指定的医院进行进一步检查或鉴定，以确认病情的严重性和是否需要外出就医。这一步骤是为了确保申请的真实性和必要性。
审批与备案：
- 如果病情确实严重且看守所或拘留所内的医疗条件无法满足治疗需求，经看守所或拘留所领导批准，并报主管公安机关备案后，嫌疑人可以请假出所看病。同时，嫌疑人或者其近亲属可能需要提出担保人，或者按剩余羁押期限每日一定标准交纳保证金，以确保嫌疑人能够按时返回。
三、外出就医期间的管理与费用
管理规定：
- 为确保安全和管理，嫌疑人在外出就医期间可能需要遵守一系列规定和限制，如由民警陪同前往医院、按时返回看守所或拘留所等。如果嫌疑人在出所看病期间违反相关规定，可能会被取消出所就医的资格，并被重新带回看守所或拘留所继续执行剩余的羁押期限。
费用承担：
- 看病所需的费用通常需要由嫌疑人或其家属自行承担。这是基于“谁受益，谁承担”的原则，同时也有助于防止滥用外出就医的权利。
四、特殊情况下的保外就医
- 依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，如果嫌疑人身患严重疾病且看守所或拘留所内医疗条件无法满足治疗需求，还可以申请保外就医。这一程序更为严格，需要经过省级人民政府指定医院诊断并开具证明文件，再经严格审批程序。保外就医期间，罪犯接受公安机关监督考察，时间计入刑期。
五、后续处理
准予出所就医的证明文件：
- 嫌疑人获准出所就医时，看守所或拘留所应发给其请假出所证明，作为其外出就医的合法依据。
不计入羁押期限：
- 嫌疑人请假出所的时间不计入羁押期限，这是为了保障嫌疑人的合法权益，避免因其生病而延长羁押时间。
返回看守所或拘留所：
- 嫌疑人在看完病后，应由其担保人负责按时带回看守所或拘留所。若不能按时回所，将依法处理，这包括可能面临的法律责任和羁押期限的延长等。
总结与建议：虽然羁押期间原则上不允许随意外出，但在确有必要且经过严格程序和审批的情况下，嫌疑人是可以外出看病的。这一规定既体现了法律的严谨性，也体现了对嫌疑人人道主义关怀的考量。如果嫌疑人或其家属遇到此类情况，建议及时与看守所或拘留所沟通，了解具体申请流程和所需材料，以便尽快安排就医。同时，也可以咨询我，获取更具体的法律建议和指导。