可以报警备案，但需分情况讨论其法律效果与必要性：

1. 私了后未达成书面协议或未完全履行时
   若双方仅口头协商赔偿但未签订书面和解协议，或赔偿款未实际支付完毕，此时报警备案可固定事故证据（如现场照片、证人信息），避免对方事后反悔主张未赔偿或夸大损失。警方介入后若认定事故责任明确，会出具《事故责任认定书》，为后续可能的诉讼提供关键证据。

2. 私了后发现伤情加重或存在隐匿伤情时
   若被撞者当时未表现出严重伤情（如内脏损伤、骨折），但事后出现恶化，报警备案可证明事故与伤情的因果关系。根据《民法典》第1179条，侵权人需赔偿医疗费、护理费等合理费用，备案记录能帮助确定赔偿范围，防止对方以“新伤”为由额外索赔。

3. 私了协议显失公平或存在胁迫时
   若一方在协商中处于弱势（如对法律不了解、急需用钱），被迫接受远低于实际损失的赔偿金额，报警备案后可通过警方调解重新协商，或直接向法院起诉撤销原协议（《民法典》第151条）。备案记录能证明协商过程是否存在不公平情形。

4. 涉及保险理赔时
   若车辆投保了交强险或商业三者险，私了后仍需向保险公司报案。根据《保险法》第21条，投保人需在事故发生后48小时内通知保险公司，否则可能影响理赔。报警备案记录可作为事故真实性的证明，避免保险公司以“未及时报案”为由拒赔。

操作建议：

• 报警时需提供事故时间、地点、对方联系方式及伤情描述，尽量提交现场照片、视频等证据；
  
• 若已私了赔偿，需向警方说明赔偿金额及支付方式，并保留转账记录、收条等凭证；
  
• 若对方拒绝配合备案，可单独向警方说明情况，警方仍会依法记录事故信息。
  

风险提示：
私了后报警备案虽可行，但若对方已就同一事实向法院起诉，警方可能不再重复处理纠纷，此时需直接通过诉讼解决。建议私了时签订书面协议并公证，或通过交警部门主持调解并制作《调解书》，以增强协议效力。如有疑问，可进一步向我咨询具体操作细节。