核心结论：针对维修工程未签合同但对方要求开具13%税率发票的问题，需分情况处理，具体如下：

1. 未签合同是否影响开票义务？

• 法律关系认定：即使未签订书面合同，若双方已实际履行维修工程（如施工、验收、付款等），仍可能被认定为存在事实合同关系。根据《民法典》第四百九十条，法律不强制要求所有合同必须书面形式，口头约定或行为推定亦可成立合同。
• 开票义务来源：根据《增值税暂行条例》及发票管理办法，销售方（维修方）有义务向购买方开具发票，税率由业务性质决定，与是否签订合同无关。因此，对方要求开票本身合法，但税率需符合实际业务。

2. 13%税率的适用性分析

• 税率适用条件：13%税率适用于销售货物、加工修理修配劳务（如设备维修中更换零部件）。若维修工程仅提供人工服务（如单纯检修、调试），则应适用9%税率（建筑服务）或6%税率（其他现代服务，如技术咨询）。
• 风险点：若实际业务不符合13%税率条件（如未更换零部件），却按13%开票，可能涉及虚开发票风险（如虚构交易内容），需承担行政处罚甚至刑事责任。

3. 未签合同下的风险防范建议

• 补签合同明确权责：尽快与对方补签书面合同，明确维修范围、价款、税率、付款方式等条款，避免后续争议。合同中可约定“税率按实际业务性质确定，如因税率争议导致额外税负，由责任方承担”。
• 留存业务证据：整理施工记录、验收单、付款凭证等材料，证明实际业务内容（如是否更换零部件），以支撑税率适用合理性。
• 协商调整税率：若对方坚持13%税率但实际业务不符，可协商按实际税率开票，或由对方承担额外税负（如差额部分）。

4. 对方坚持不合理要求的应对

• 拒绝虚开：若对方要求虚构业务内容（如将纯人工服务包装为含零部件更换），应明确拒绝，避免法律风险。
• 税务举报：若对方以不付款等理由胁迫虚开发票，可向当地税务机关举报（如通过12366热线），保护自身权益。
• 诉讼解决：若因税率争议导致付款纠纷，可依据《民法典》合同编，以实际业务内容为依据起诉要求付款，并主张对方承担违约责任。

总结：未签合同不影响开票义务，但税率需与实际业务匹配。建议优先补签合同、留存证据，并通过协商或法律途径解决争议。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。