结论是：欠信用卡4000多元，确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉，取决于多种因素。以下从不同角度为你详细分析：
一、银行起诉的考量因素
欠款金额：
- 虽然4000多元的欠款相对于一些大额信用卡纠纷来说金额不大，但银行在决定是否起诉时，会综合考虑欠款金额、欠款时间以及持卡人的还款态度等因素。
- 欠款金额虽不是决定性因素，但它是银行评估风险、决定是否采取法律手段的重要参考之一。
欠款时间：
- 如果欠款时间较长，且持卡人一直未表现出还款意愿或能力，银行可能会认为通过法律途径追讨欠款更为有效。
- 相反，如果持卡人能够积极与银行沟通，表达还款意愿，并尝试制定还款计划，银行可能会给予一定的宽限期。
持卡人还款态度与能力：
- 银行在决定是否起诉时，会关注持卡人的还款态度和能力。如果持卡人能够证明自己有还款能力，并愿意与银行协商还款计划，银行可能会选择不通过法律途径解决。
- 如果持卡人拒绝还款或无法联系到，银行则可能会考虑采取法律手段。
二、法律后果与应对建议
法律后果：
- 如果银行决定起诉，持卡人可能会面临法律诉讼、财产被查封或冻结、信用记录受损等后果。
- 在诉讼过程中，如果法院判决持卡人还款而持卡人拒不执行，还可能面临更严重的法律后果，如被列入失信被执行人名单等。
应对建议：
- 积极沟通：建议持卡人尽快与银行取得联系，表达还款意愿，并尝试协商制定还款计划。
- 寻求帮助：如果持卡人确实无力一次性还清欠款，可以考虑寻求专业法律帮助或咨询债务重组机构，以制定更合理的还款方案。
- 避免逃避：持卡人应避免逃避银行的催收电话或信函，以免加重法律后果。
三、实际操作中的注意事项
- 保留证据：在与银行沟通或协商还款计划时，持卡人应保留好相关证据，如通话记录、短信、邮件等，以备不时之需。
- 了解法律程序：如果持卡人确实面临法律诉讼，应了解相关法律程序，如应诉、举证、质证等，以便更好地维护自己的合法权益。
- 及时履行义务：如果法院判决持卡人还款，持卡人应及时履行还款义务，以免面临更严重的法律后果。
总结来说，欠信用卡4000多元确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉取决于多种因素。作为持卡人，应积极与银行沟通、表达还款意愿，并尝试制定合理的还款计划。如果确实面临法律诉讼，应了解相关法律程序并及时履行义务。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。