派遣员工合同到期后，并不直接享有要求转正的法定权利，但可根据具体情况与用工单位协商转正或寻求其他法律救济。以下是对此问题的详细分析：

一、派遣员工与用工单位的关系

派遣员工与劳务派遣单位签订劳动合同，被派遣至用工单位工作。在这种关系中，派遣员工与用工单位之间并不直接建立劳动合同关系，而是与劳务派遣单位存在劳动关系。因此，派遣员工的合同到期，实际上是指其与劳务派遣单位之间的劳动合同到期。

二、合同到期后的处理

1. 与劳务派遣单位续签或终止合同：

   • 派遣员工与劳务派遣单位的劳动合同到期后，双方可以协商续签劳动合同，也可以选择终止合同。
   • 如果选择终止合同，劳务派遣单位应按照法律规定向派遣员工支付经济补偿（如果符合支付条件）。

2. 向用工单位提出转正请求：

   • 派遣员工并不直接享有要求用工单位将其转正的法定权利。因为用工单位与派遣员工之间不存在直接的劳动合同关系。
   • 但是，派遣员工可以与用工单位进行协商，表达希望成为用工单位正式员工的意愿。如果用工单位同意，双方可以签订新的劳动合同，建立直接的劳动关系。

三、可能的法律救济途径

1. 协商：

   • 派遣员工可以首先尝试与用工单位和劳务派遣单位进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。

2. 投诉或举报：

   • 如果派遣员工认为自己的权益受到侵害（如劳务派遣单位或用工单位存在违法行为），可以向当地劳动监察部门投诉或举报。

3. 申请劳动仲裁或提起诉讼：

   • 如果协商无果，派遣员工可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。但需要注意的是，在申请仲裁或提起诉讼时，派遣员工需要明确自己的诉求和法律依据，并准备好相关证据。

四、特殊情况下的转正可能性

在某些特殊情况下，派遣员工可能享有更明确的转正权利。例如，如果用工单位与劳务派遣单位之间的劳务派遣协议中明确约定了派遣员工在满足一定条件后可以转正，或者用工单位在招聘时明确承诺了派遣员工有机会转正，那么派遣员工在满足这些条件或承诺时，可以要求用工单位履行转正义务。

建议：派遣员工在合同到期前应提前了解自己的权益和可能的法律救济途径，并与用工单位和劳务派遣单位进行充分沟通。如果希望转正，应积极与用工单位协商，并了解用工单位的转正政策和条件。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。