非法倾倒建筑垃圾的管理涉及多个部门，具体职责划分如下：
城市管理综合执法部门（城管部门）：
- 城管部门是非法倾倒建筑垃圾行为的主要监管和执法部门。他们负责在城市范围内巡查，对发现的非法倾倒行为进行制止、查处，并依法给予相应的行政处罚。例如，对于随意倾倒建筑垃圾的行为，城管部门可以责令限期改正，给予警告，并处以罚款。
环境卫生主管部门：
- 环境卫生主管部门在建筑垃圾管理中也扮演着重要角色。他们负责统筹规划建筑垃圾的消纳场所，确保建筑垃圾有合法的去处。同时，他们也会对建筑垃圾的收集、运输、消纳等环节进行监督，防止非法倾倒行为的发生。虽然他们不直接对非法倾倒行为进行执法，但他们的规划和监督工作为城管部门的执法提供了有力支持。
环保部门：
- 环保部门主要关注建筑垃圾处理过程中的环境影响。如果非法倾倒建筑垃圾导致了环境污染，如扬尘污染、水体污染等，环保部门将依法进行调查和处理。他们可能会要求倾倒者采取措施消除污染，并依法给予处罚。
其他相关部门：
- 在某些情况下，非法倾倒建筑垃圾的行为可能还涉及其他部门的管理范畴。例如，如果倾倒行为发生在交通要道或影响交通安全的区域，交通运输部门可能会介入；如果倾倒行为涉及破坏土地资源或违反土地管理法规，国土资源部门也可能会进行调查和处理。
法律建议与后果：
法律建议：对于建设单位、施工单位或个人而言，应严格遵守建筑垃圾管理的相关法律法规，确保建筑垃圾的合法收集、运输和消纳。在倾倒建筑垃圾前，应了解并遵守当地的相关规定和程序，如办理倾倒许可证、选择合法的消纳场所等。
法律后果：非法倾倒建筑垃圾的行为将面临严重的法律后果。除了可能受到城管部门的行政处罚外，如果行为导致了环境污染或其他严重后果，还可能面临环保部门或其他相关部门的进一步调查和处理。在极端情况下，非法倾倒行为甚至可能构成犯罪，如污染环境罪等，将受到刑事处罚。
总结与进一步思考：
非法倾倒建筑垃圾是一个复杂的社会问题，需要多个部门的共同努力和协作来解决。作为建设单位、施工单位或个人，应增强法律意识，严格遵守相关法律法规，共同维护城市的环境和秩序。如果您在建设工程领域遇到任何法律问题或疑虑，欢迎直接向我咨询，我将为您提供专业、全面的法律服务。