结论前置：当嫌疑人已被刑拘但检察院不批准逮捕时，公安机关必须立即释放嫌疑人，并可能根据案件情况采取其他非羁押性强制措施或继续侦查。对于嫌疑人及其家属而言，了解这一流程并采取相应的法律行动至关重要。
详细分析：
公安机关的应对措施：
- 立即释放：根据《刑事诉讼法》第九十一条，检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放嫌疑人。这是法律对公安机关的明确要求，旨在保障嫌疑人的合法权益。
- 变更强制措施：释放后，公安机关可根据案件具体情况，依法采取其他非羁押性强制措施，如取保候审或监视居住。取保候审需提供保证人或保证金，而监视居住则限制嫌疑人的居住区域并接受监督。这些措施旨在确保嫌疑人不逃避侦查且不妨碍诉讼进程。
- 继续侦查与补充证据：若公安机关认为需要补充侦查，可进一步收集证据。若后续发现新事实或证据，可重新提请检察院审查逮捕。但需注意，《刑事诉讼法》第九十条规定补充侦查以二次为限。
- 撤销案件或终止侦查：经侦查确认不构成犯罪或无需追究刑事责任的，公安机关应依法撤销案件。
嫌疑人的权利保障：
- 申请国家赔偿：若嫌疑人最终被确认无罪，可依据《国家赔偿法》第十七条申请国家赔偿，以弥补错误拘留期间的损失。
- 配合调查义务：在取保候审或监视居住期间，嫌疑人须遵守相关规定，如定期报到、不得离开指定区域等。违反这些规定可能导致强制措施升级，甚至被重新逮捕。
检察院的监督职责：
- 不批准逮捕理由说明：检察院需向公安机关出具《不批准逮捕决定书》，明确不捕原因，如证据不足、无社会危险性等。这有助于公安机关了解检察院的决策依据，并据此采取后续行动。
- 后续监督：检察院可通过立案监督、侦查活动监督等方式，确保公安机关依法处理案件。这有助于维护司法公正和效率。
关键时间节点与法律期限：
- 检察院审查逮捕的期限为7日，自接到公安机关提请批准逮捕书后计算。
- 取保候审的最长时限为12个月，监视居住的最长时限为6个月。这些期限限制旨在保障嫌疑人的合法权益，防止长期羁押。
建议行动指南：
家属须知：
- 及时联系律师了解案件进展，以便及时采取法律行动。
- 确认嫌疑人是否已获释及后续安排，如是否需要取保候审或监视居住。
- 若涉及赔偿，保留相关证明材料，以便后续申请国家赔偿。
律师介入要点：
- 申请变更强制措施为取保候审，以减轻嫌疑人的羁押状态。
- 协助收集有利证据，为嫌疑人辩护提供有力支持。
- 监督公安机关办案合法性，确保嫌疑人的合法权益不受侵害。
示例说明：
假设某盗窃案中，嫌疑人A因证据链不完整被检察院不批捕。公安机关在接到通知后立即释放了A，并对其采取了取保候审措施。随后，公安机关通过补充监控录像和证人证言等证据，再次提请检察院审查逮捕并获批准。这一案例说明，不批捕不等于结案，公安机关仍可完善证据后重启程序。
总结：检察院不批捕后，公安机关需在法定期限内释放嫌疑人并采取适当措施。案件可能进入补充侦查阶段或直接撤销，具体取决于证据情况。当事人及家属应及时寻求专业法律帮助，如直接向我咨询，以维护合法权益。