关于员工生病恢复期间公司是否可以解雇的问题，这主要取决于员工所处的医疗期阶段以及具体情况，下面我将为您详细解析：
一、法定医疗期内的情况
在员工因患病或非因工负伤，处于法律规定的医疗期内时，公司是不得随意解雇员工的。这是根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项的明确规定。医疗期的具体时长会根据员工在用人单位的工作年限来确定，范围从三个月到二十四个月不等。在医疗期内，除非员工存在严重违反用人单位规章制度等法定解除劳动合同的情形，否则公司不得解除劳动合同。若公司违法解除，员工有权要求继续履行劳动合同，或者要求公司按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
二、医疗期满后的情况
员工不能胜任工作：如果员工在医疗期满后，既无法从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，那么公司在提前三十日以书面形式通知员工，或者额外支付员工一个月工资后，有权解除劳动合同。但此时，公司仍需向员工支付经济补偿金，经济补偿金的标准是根据员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准来计算。
员工能胜任工作：如果员工在医疗期满后能够胜任工作，那么公司无正当理由辞退员工则属于违法辞退，需要承担相应的法律责任，包括支付赔偿金等。
三、特殊情况下的辞退
当然，也存在一些特殊情况，如果员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的情形，公司是有权立即辞退该员工的，且无需支付任何经济补偿。
总结与建议
综上所述，公司在处理员工生病期间的劳动关系时，必须严格遵守相关法律法规，确保合法合规。在法定医疗期内，除非员工存在严重违纪等特定情形，否则公司不得解除劳动合同。医疗期外，若员工不能胜任工作或存在其他法定过错，公司也需按照法定程序进行辞退，并承担相应的法律责任。因此，我建议公司在面对此类情况时，务必谨慎行事，如有需要，可以及时咨询专业律师或法律机构，以获取准确的法律意见和指导，从而避免不必要的法律纠纷和经济损失。