针对您提出的“合同超期客户不签署怎么办”的问题，这确实是一个涉及合同管理和法律风险的复杂情况。以下是我根据不同类型合同，为您提供的详细分析和应对建议：
一、劳动合同情况
视为续签的特定情形：
- 如果劳动合同期满后，员工仍在原单位工作，且单位未表示异议，根据相关法律规定，这将被视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但为了避免潜在的法律风险，建议您尽快与员工补签书面劳动合同。
支付双倍工资的风险：
- 若劳动合同期满后继续用工但未续签，单位可能面临支付双倍工资的风险。因此，及时与员工协商续签事宜，并签订书面劳动合同是至关重要的。
终止劳动关系与经济补偿：
- 如果劳动合同到期后，任何一方决定不再续签，劳动关系将终止。除非单位维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意续订，否则单位应向员工支付经济补偿。经济补偿的计算方式通常按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。
应对建议：
- 提前与员工沟通续签意愿，明确续签条件。
- 尽快补签书面劳动合同，避免法律风险。
- 如需终止劳动关系，确保按照法律规定支付经济补偿，并办理相关离职手续。
二、租赁合同情况
不定期租赁的转化：
- 租赁合同到期后，如果承租人继续使用租赁物且出租人未提出异议，原租赁合同将继续有效，但租赁期限变为不定期。这意味着双方可以随时解除合同，但应在合理期限之前通知对方。
出租人收回租赁物的权利：
- 租赁合同到期后，承租人应返还租赁物。如果逾期不返还，出租人有权要求承租人返还，并可能要求支付逾期占用期间的租金或占用费。
应对建议：
- 与承租人沟通，了解其是否愿意继续租赁，并协商重新签订定期租赁合同。
- 如果承租人拒绝签署或逾期不返还租赁物，考虑通过法律途径解决，如向法院提起诉讼。
三、其他合同情况
事实履行的继续：
- 对于非劳动、租赁合同，如果合同到期后双方仍按原合同约定继续履行，这将被视为事实履行。但为了避免未来可能出现的纠纷，建议双方协商补签合同。
合同的自然终止：
- 如果合同到期后双方无继续履行意愿，合同将自然终止。此时，双方应按合同约定或法律规定办理合同终止后的相关手续。
应对建议：
- 与客户沟通，了解其不签署合同的具体原因。
- 如果客户有继续合作的意愿，协商补签合同或签订新的合同。
- 如果客户无继续合作意愿，确保按照合同约定或法律规定办理终止手续，并保留好相关证据。
综合建议
- 提前沟通：在合同到期前，提前与客户沟通续签事宜，明确各自意愿和条件。
- 保留证据：妥善保存与合同履行相关的所有证据，以备后续维权之需。
- 依法处理：如遇合同纠纷，首先尝试协商解决；协商不成时，可依法向相关部门投诉或申请仲裁、提起诉讼来维护自己的合法权益。
希望以上分析和建议能对您有所帮助。如果您在处理过程中遇到任何具体问题或需要进一步的法律咨询，请随时告知。