结论：事业单位在试用期内发现工作人员有精神病症，一般情况下可以不予转正，但需遵循法定程序并确保处理合法合规。以下从不同角度详细分析：
一、法律背景与依据
试用期解除劳动合同的法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第二十一条：“在试用期中，除劳动者有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形外，用人单位不得解除劳动合同。用人单位在试用期解除劳动合同的，应当向劳动者说明理由。”
- 其中，第三十九条明确规定了用人单位可以解除劳动合同的情形，包括“劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的”。虽然此条款直接针对的是医疗期满后的情形，但试用期内的劳动者若患有严重疾病（如精神病症），且该疾病可能影响其正常履行工作职责，用人单位在合理评估后，有权考虑是否解除劳动合同。
事业单位人事管理规定：
- 事业单位在人事管理上，通常遵循更为严格的规定，包括招聘、试用、转正等各个环节。对于试用期内的员工，若发现其存在不符合录用条件或无法胜任工作的情形（包括健康问题），事业单位有权根据内部规定和程序进行处理。
二、处理流程与注意事项
医疗鉴定与评估：
- 事业单位在发现员工有精神病症后，应首先安排其进行专业的医疗鉴定，以确认病情的严重程度及其对工作的影响。
- 根据医疗鉴定结果，事业单位可以评估员工是否能够继续履行工作职责，或者是否需要调整工作岗位或安排治疗。
遵循法定程序：
- 若事业单位决定不予转正或解除劳动合同，必须遵循法定程序，包括向员工说明理由、听取员工的陈述和申辩、出具书面解除通知等。
- 事业单位应确保处理过程合法合规，避免侵犯员工的合法权益。
考虑员工权益：
- 在处理过程中，事业单位应充分考虑员工的权益，包括提供必要的医疗帮助、协助办理离职手续、支付应得的工资和福利等。
- 若员工对处理结果有异议，事业单位应告知其有权依法申请劳动仲裁或提起诉讼。
三、可能面临的法律后果
若处理合法合规：
- 若事业单位在试用期内发现员工有精神病症，并依法依规进行了处理（如不予转正或解除劳动合同），且处理过程合法合规，那么事业单位通常不会面临法律责任。
若处理违法违规：
- 若事业单位在处理过程中存在违法违规行为（如未进行医疗鉴定、未遵循法定程序、侵犯员工权益等），那么员工有权依法申请劳动仲裁或提起诉讼，要求事业单位承担相应的法律责任。
四、建议与总结
建议：
- 事业单位在招聘和试用过程中，应加强对员工健康状况的关注和评估，确保招聘到符合录用条件的员工。
- 在发现员工有精神病症等健康问题后，事业单位应及时安排医疗鉴定和评估，并根据评估结果依法依规进行处理。
- 在处理过程中，事业单位应充分考虑员工的权益，确保处理过程合法合规、公正透明。
总结：
- 事业单位在试用期内发现工作人员有精神病症，一般情况下可以不予转正，但需遵循法定程序并确保处理合法合规。若处理不当，可能面临法律责任。因此，事业单位在处理此类问题时，应谨慎行事、依法依规操作。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。