使用私刻的公章签署合作协议是违法的，且可能导致合同效力存在瑕疵，相关责任人还可能面临严重的法律后果。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、私刻公章行为的违法性
违反治安管理规定：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十二条，伪造、变造或者买卖国家机关、人民团体、企业、事业单位或者其他组织的公文、证件、证明文件、印章的，将面临十日以上十五日以下拘留，并可处一千元以下罚款；情节较轻的，也将面临五日以上十日以下拘留，并可处五百元以下罚款。因此，私刻公章的行为本身就违反了治安管理规定，可能受到相应的行政处罚。
可能构成刑事犯罪：
- 依照《中华人民共和国刑法》第二百八十条第二款，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，将受到三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利的刑事处罚，并处罚金。若私刻公章行为造成了严重后果或具有其他严重情节，还可能面临更严厉的刑事处罚。
二、签订合同的效力及法律后果
合同效力存在瑕疵：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同的成立需要双方当事人的真实意思表示。使用私刻公章签订的合同，很难被认定为是公司的真实意思表示。因此，这类合同在司法实践中通常会被认定为无效或效力待定。
对公司的法律后果：
- 如果合同被认定为无效，公司可能不需要承担合同约定的义务，但可能需要对因合同而产生的实际损失承担一定的赔偿责任。若合同被认定为效力待定，公司可根据具体情况选择追认或否认合同的效力。追认则合同对公司产生约束力；否认则合同无效，公司同样可能需要承担赔偿责任。
对第三方的法律后果：
- 若第三方在签订合同时不知道公章是私刻的，且有理由相信签署人有签订合同的代理权（即构成表见代理），根据《民法典》第一百七十二条，合同对公司仍然具有约束力，公司需承担合同责任。然而，如果第三方明知公章是私刻的，则可能需要承担因合同无效而产生的法律后果。
三、综合分析与建议
法律风险：
- 私刻公章签署合作协议不仅违反了治安管理和刑法规定，还可能导致合同效力存在瑕疵，给公司带来不必要的法律风险和经济损失。同时，对于第三方而言，也应谨慎审查合同公章的真实性，以避免因合同无效而遭受损失。
防范措施：
- 为有效防范私刻公章签署合同的风险，企业应建立严格的管理制度，明确公章的使用权限、审批流程及保管责任。同时，加强员工教育，提升员工对公章重要性的认识，加强法律意识和职业道德教育。此外，还可以采用物理和技术手段，如安装监控摄像头、使用电子锁等，加强对公章的实时监控和保护。
法律救济：
- 如果发现有人私刻公章签署合同，公司应及时向公安机关报案，并收集相关证据以维护自身权益。同时，对于因私刻公章而导致的损失，公司可以向相关责任人追偿。
综上所述，使用私刻的公章签署合作协议是违法的，且后果严重。建议所有企业和个人增强法律意识，遵守相关法律法规，确保公章的合法性和合同的有效性。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。