结论：不在林地上也没有被认定为古树的树木被砍伐，其管理责任主要取决于树木所在土地的性质以及砍伐行为的具体情况，可能涉及林业部门、土地管理部门或公安机关等多个部门。以下是对此问题的详细分析：

一、树木所在土地性质的影响

1. 集体土地（如宅基地、自留地等）：

   • 若树木生长在集体土地上，且该土地不属于林地范畴，那么砍伐这些树木通常不需要林业部门的特别许可，但应遵守当地关于土地管理和树木砍伐的相关规定。
   • 在这种情况下，如果砍伐行为引发了纠纷或违法行为（如未经允许砍伐他人树木），则可能由土地管理部门或公安机关介入处理。

2. 国有土地：

   • 若树木生长在国有土地上，砍伐行为需遵循更严格的法律规定。即使树木不在林地上且未被认定为古树，砍伐前也可能需要获得相关部门的批准或许可。
   • 未经批准擅自砍伐国有土地上的树木，可能构成违法行为，由林业部门、土地管理部门或公安机关根据具体情况进行查处。

二、砍伐行为具体情况的影响

1. 合法砍伐：

   • 如果砍伐行为符合当地法律法规的规定，且已获得必要的批准或许可，那么该行为是合法的，不会受到处罚。
   • 在这种情况下，即使树木不在林地上且未被认定为古树，砍伐行为也不会引发管理责任问题。

2. 非法砍伐：

   • 如果砍伐行为未经批准或违反了相关法律法规的规定，那么该行为是非法的，可能构成违法行为。
   • 非法砍伐行为可能由林业部门、土地管理部门或公安机关根据具体情况进行查处，并可能面临罚款、赔偿损失甚至刑事责任等法律后果。

三、具体管理部门的确定

1. 林业部门：

   • 虽然树木不在林地上且未被认定为古树，但如果砍伐行为涉及大量树木或对生态环境造成影响，林业部门仍可能介入调查和处理。

2. 土地管理部门：

   • 如果砍伐行为涉及土地使用权的变更或土地资源的破坏，土地管理部门将负责调查和处理相关违法行为。

3. 公安机关：

   • 如果砍伐行为构成犯罪（如故意毁坏财物罪、滥伐林木罪等），公安机关将负责立案侦查并追究犯罪嫌疑人的刑事责任。

四、建议与措施

1. 了解当地法律法规：

   • 在进行树木砍伐前，应详细了解当地关于树木砍伐、土地管理和生态环境保护等方面的法律法规，确保砍伐行为合法合规。

2. 获得必要批准或许可：

   • 如果砍伐行为需要获得相关部门的批准或许可，应提前办理相关手续，避免非法砍伐行为的发生。

3. 尊重他人权益：

   • 在砍伐树木时，应尊重他人的土地使用权和树木所有权，避免引发纠纷和违法行为。

4. 及时咨询与求助：

   • 如果对树木砍伐的法律问题存在疑问或遇到纠纷，应及时咨询专业律师或相关部门，寻求法律帮助和解决方案。

如有任何关于房产问题（包括农村土地和宅基地）的法律疑问，都可以直接向我咨询，我会为你提供专业、全面的法律解答。