结论前置：公司直接开除员工的情况在法律上有严格限制，通常需满足特定条件并遵循法定程序。公司制度虽可规定开除情形，但不得违反法律强制性规定。以下从法律和制度两个角度详细说明：

一、法律规定的公司可直接开除员工的情形

根据《劳动合同法》第三十九条，公司无需支付经济补偿即可直接开除员工的情形包括：

1. 试用期不符合录用条件

   • 需满足：公司已明确录用条件（如书面告知员工）、有证据证明员工不符合条件（如考核记录）、在试用期内解除合同。
     
   • 示例：若公司规定“试用期需完成10单销售”，员工仅完成3单且无合理理由，公司可依法开除。

2. 严重违反公司规章制度

   • 需满足：制度内容合法（如不违反《劳动法》）、制度已向员工公示或告知、员工行为确实达到“严重”程度（如盗窃、打架斗殴）。
     
   • 注意：若制度仅规定“迟到3次开除”，但未明确“严重”标准，可能被认定为违法解除。

3. 严重失职或营私舞弊，给公司造成重大损害

   • 需满足：员工存在故意或重大过失（如泄露商业秘密）、损害结果达到“重大”标准（如直接经济损失超5000元）。
     
   • 示例：财务人员私自转账公司资金至个人账户，即使未造成实际损失，也可被认定为营私舞弊。

4. 同时与其他公司建立劳动关系，对完成本职工作造成严重影响或拒不改正

   • 需满足：公司有证据证明员工存在双重劳动关系（如社保记录、工作记录）、已书面要求员工改正但员工拒绝。
     
   • 注意：若员工兼职未影响本职工作，公司不得以此为由开除。

5. 以欺诈、胁迫手段订立劳动合同，致使合同无效

   • 需满足：员工在入职时提供虚假信息（如伪造学历、工作经历）、公司能证明信息虚假且与合同履行直接相关。
     
   • 示例：员工虚构“5年行业经验”入职，但实际无法胜任工作，公司可依法解除合同。

6. 被依法追究刑事责任

   • 需满足：员工被法院判处刑罚（如拘役、有期徒刑）或被检察院免予起诉（但需符合《刑事诉讼法》规定）。
     
   • 注意：若员工仅被行政拘留（如治安处罚），公司不得以此为由开除。

二、公司制度的制定要点

公司制度虽可规定开除情形，但需遵循以下原则：

1. 内容合法

   • 不得违反《劳动合同法》《劳动法》等强制性规定（如不得规定“女员工怀孕即开除”）。
     
   • 不得设定与工作无关的解除条件（如“员工必须每天晨跑，否则开除”）。

2. 程序合法

   • 制度需经职工代表大会或全体职工讨论（民主程序）、向员工公示或告知（如签字确认、邮件通知）。
     
   • 示例：公司可将制度打印成册，要求员工签字确认“已阅读并同意”。

3. 条款明确

   • 需具体列举“严重违反制度”的情形（如“连续旷工3天”“泄露客户信息”），避免使用模糊表述（如“态度恶劣”“工作不认真”）。
     
   • 示例：制度可规定“未经批准擅自离岗超过4小时视为旷工1天”。

4. 保留证据

   • 公司需对员工违规行为留存证据（如监控录像、聊天记录、书面警告），否则可能被认定为违法解除。
     
   • 示例：若员工因打架被开除，公司需提供报警记录、医院诊断证明等证据。

三、法律后果与建议

1. 违法解除的后果

   • 若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同或索赔2N倍经济补偿（N为工作年限）。
     
   • 计算公式：经济补偿 = 月工资 × 工作年限（满6个月按1年计算，不满6个月按0.5年计算）；2N即双倍补偿。

2. 建议

   • 对公司：制定制度时咨询律师，确保合法合规；开除员工前留存充分证据，避免纠纷。
     
   • 对员工：若被违法开除，可向劳动仲裁委申请仲裁，主张赔偿或恢复劳动关系。

总结：公司直接开除员工需满足法律规定的严格条件，制度虽可细化但不得违法。若您遇到类似纠纷，可直接向我咨询具体应对方案。