结论：是否就民事执行和解协议提起诉讼或继续执行原协议，取决于多种因素，包括和解协议的履行情况、双方当事人的意愿以及法律程序的要求等。以下是对此问题的详细分析：
一、和解协议的履行情况
和解协议已履行：
- 如果双方已经按照和解协议的内容完全履行了各自的义务，那么就没有必要再就和解协议提起诉讼或继续执行原协议。因为和解协议的目的已经达到，双方的权利义务关系已经通过和解协议得到了解决。
和解协议未履行或部分履行：
- 如果和解协议签订后，一方或双方未按照协议内容履行义务，那么另一方可以考虑根据和解协议的内容向法院提起诉讼，要求对方履行和解协议或承担违约责任。
- 同时，如果原协议（即执行依据）仍然有效，且未被和解协议所替代或撤销，那么在和解协议无法履行的情况下，申请执行人也可以选择继续执行原协议。但需要注意的是，如果和解协议已经对原协议进行了实质性修改，且双方均同意以和解协议为准，那么继续执行原协议可能会面临法律上的障碍。
二、双方当事人的意愿
双方均同意继续执行和解协议：
- 如果双方当事人都希望继续按照和解协议的内容履行义务，那么就没有必要提起诉讼或继续执行原协议。双方可以协商解决履行过程中出现的问题，或者通过其他非诉讼方式解决争议。
一方或双方不同意继续执行和解协议：
- 如果一方或双方不同意继续执行和解协议，那么另一方可以考虑根据法律规定和和解协议的内容向法院提起诉讼，要求对方履行和解协议或承担违约责任。
三、法律程序的要求
提起诉讼的程序：
- 如果决定就和解协议提起诉讼，那么需要按照民事诉讼法的规定向法院提交起诉状、证据材料等，并经过法院的审理和判决。这个过程可能需要一定的时间和费用，因此需要谨慎考虑。
继续执行原协议的程序：
- 如果选择继续执行原协议，那么需要向法院申请恢复执行程序，并提供相关证据证明和解协议无法履行或对方未履行和解协议。法院将根据实际情况决定是否恢复执行原协议。
四、实际操作中的建议
- 评估和解协议的履行情况和双方意愿：在决定是否提起诉讼或继续执行原协议之前，先评估和解协议的履行情况和双方当事人的意愿。如果和解协议已经得到有效履行或双方均同意继续执行和解协议，那么就没有必要采取进一步的法律行动。
- 咨询专业律师：如果对和解协议的履行情况、双方意愿或法律程序存在疑问或不确定，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
- 考虑非诉讼解决方式：在可能的情况下，也可以考虑通过调解、仲裁等非诉讼方式解决争议，以节省时间和费用并维护双方的关系。
最后，是否就民事执行和解协议提起诉讼或继续执行原协议是一个复杂的问题，需要根据具体情况进行综合考虑。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。