结论：发放工资待工工资周期后解除劳动关系，是否需要补偿取决于解除劳动关系的具体原因和情形。以下从不同角度进行分析：
一、合法解除劳动关系且无需支付经济补偿的情形
劳动者过错性解除：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 举例：若劳动者在待工期间严重违反公司规章制度，如多次旷工、盗窃公司财物等，用人单位有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
协商一致解除：
- 若用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，且双方就经济补偿达成一致意见（包括无需支付经济补偿），则按照协商结果执行。
- 举例：在待工期间，用人单位与劳动者协商，劳动者同意解除劳动合同且不要求经济补偿，双方签署解除协议后，用人单位无需支付经济补偿。
二、合法解除劳动关系但需支付经济补偿的情形
无过错性解除：
- 根据《劳动合同法》第四十条，劳动者患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作；或劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位仍不能胜任工作；或劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且用人单位与劳动者协商未能就变更劳动合同内容达成协议的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，但需支付经济补偿。
- 举例：在待工期间，劳动者因非工负伤医疗期满后不能从事原工作，用人单位在提前三十日通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，需支付经济补偿。
经济性裁员：
- 根据《劳动合同法》第四十一条，用人单位因生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等情形，需要裁减人员二十人以上或裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，用人单位需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员，但需支付经济补偿。
- 举例：在待工期间，用人单位因经营困难需要裁员，按照法定程序进行裁员后，需向被裁员工支付经济补偿。
三、违法解除劳动关系的情形
- 若用人单位违法解除劳动合同，如未按照法定程序解除、解除理由不成立等，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同或支付赔偿金（赔偿金为经济补偿的两倍）。
- 举例：在待工期间，用人单位无正当理由突然解除劳动合同，且未提前通知或支付经济补偿，劳动者可以要求用人单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。
四、经济补偿的计算标准
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 计算公式：\(经济补偿=工作年限\times月工资\)（月工资高于当地职工月平均工资三倍的，按三倍计算，且年限最高不超过十二年）。
建议：在待工工资周期后解除劳动关系时，用人单位应仔细审查解除劳动合同的原因和程序，确保合法合规。劳动者也应了解自己的权益，如用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求继续履行或支付赔偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。