在老公的哥哥嫂子去世且未留遗嘱的情况下，他们的第一顺序继承人为其子女、父母；若均不存在，则由第二顺序继承人兄弟姐妹、祖父母、外祖父母继承，老公作为弟弟原则上无权直接继承，但存在特殊情形时可能参与继承。具体分析如下：

一、法定继承顺序的基本规则

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，法定继承分为两个顺序：

1. 第一顺序：配偶、子女、父母；
2. 第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。

继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。

二、针对您问题的具体分析

1. 若哥哥嫂子留有子女：

   • 子女是第一顺序继承人，直接继承父母遗产；
   • 若子女已去世，由子女的直系晚辈血亲（如孙子女、外孙子女）代位继承；
   • 老公作为弟弟，不属于第一顺序继承人，无权直接继承。

2. 若哥哥嫂子无子女，但父母健在：

   • 父母作为第一顺序继承人，继承子女遗产；
   • 老公仍不属于第一顺序继承人，无权直接继承。

3. 若哥哥嫂子无子女且父母已去世：

   • 由第二顺序继承人继承，包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母；
   • 老公作为弟弟，属于第二顺序继承人，有权参与继承；
   • 若存在其他兄弟姐妹（如姐姐、妹妹），需与其他继承人共同分配遗产。

4. 特殊情形：丧偶儿媳/女婿的继承权：

   • 若嫂子去世时，哥哥已先去世，且嫂子的父母已去世，嫂子的子女是第一顺序继承人；
   • 若嫂子无子女且父母已去世，对公婆尽了主要赡养义务的丧偶儿媳，可作为第一顺序继承人继承公婆遗产（但此情形不涉及老公对哥哥遗产的继承）。

三、关键提醒

1. 遗嘱优先：若哥哥嫂子生前留有合法遗嘱，遗产分配按遗嘱执行，法定继承顺序不适用。
2. 继承权丧失：若继承人存在故意杀害被继承人、遗弃被继承人等行为，丧失继承权。
3. 遗产范围：需先分割夫妻共同财产（如哥哥嫂子的房产、存款中属于嫂子的部分），再对哥哥的个人财产进行继承。

建议：若涉及具体财产分配或家庭关系复杂，可进一步提供细节（如是否留有遗嘱、继承人现状等），以便更精准分析。