结论前置：对于未约定还款日期的借条，在还款一次后出借人未催收的情况下，诉讼时效的起算需根据具体情况判断，一般原则为从债权人知道或应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算三年，但最长不超过二十年。以下是详细分析：
一、诉讼时效的基本规定
根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。
二、未约定还款日期的借条诉讼时效起算
一般原则：对于未明确约定还款日期的借条，诉讼时效并非从借款之日或首次还款之日起计算，而是从债权人知道或应当知道权利受到损害以及义务人（债务人）之日起计算。在您描述的情况下，如果还款一次后，债务人未再明确表示不履行还款义务，且出借人未进行催收，那么诉讼时效的起算可能会根据具体案情和证据由法院判定。但通常，如果债务人未明确表示拒绝还款，且出借人未积极主张权利，诉讼时效可能不会立即起算。
特殊情况：如果债务人在还款一次后，明确表示不再履行剩余的还款义务，那么诉讼时效将从债务人明确表示不履行义务之日起计算三年。例如，债务人在还款一次后，通过书面或口头方式明确告知出借人不再还款，那么出借人应在知道该情况之日起三年内提起诉讼。
最长保护期限：无论何种情况，如果出借人一直未向债务人主张权利，那么从借款发生之日起算，最长保护期限为二十年。超过这一期限，人民法院将不再对出借人的诉讼请求予以保护。
三、诉讼时效的中断与重新计算
在诉讼时效期间内，如果出借人通过发送催款通知、提起诉讼等方式向债务人主张了权利，那么诉讼时效会发生中断。中断后，将从中断之日起重新计算三年的诉讼时效期间。这意味着，每次有效的权利主张都能“刷新”诉讼时效的计时器。
四、实际建议
保留证据：出借人应妥善保管好借条、还款记录、催收记录等相关证据，以备不时之需。这些证据在诉讼中至关重要，有助于证明借贷关系的存在及诉讼时效的起算时间。
及时主张权利：虽然未约定还款日期的借条在诉讼时效上具有一定的灵活性，但出借人仍应及时向借款人催讨借款。这不仅可以避免因时间过长而导致证据灭失或难以收集，还能有效维护出借人的合法权益。
关注诉讼时效：出借人应密切关注诉讼时效的相关规定和要求，确保自己的合法权益得到有效保护。如果担心诉讼时效问题，可以定期向债务人发送催款通知或采取其他合法方式主张权利，以中断诉讼时效并重新计算。
举例说明：假设甲于2018年1月1日借给乙10万元，借条上未写明还款日期。乙在2019年1月1日还款2万元后，未再还款且未明确表示拒绝还款。若甲一直未向乙催收剩余款项，那么诉讼时效的起算可能会根据具体案情和证据由法院判定。但如果乙在2020年1月1日明确告知甲不再还款，则甲的债权诉讼时效从2020年1月1日起算，至2023年1月1日止。若甲一直未主张权利，则直到2038年1月1日（即从借款之日起算二十年），甲都有权向法院提起诉讼，但超过这一日期，法院将不再保护甲的债权。
综上所述，对于未约定还款日期的借条，在还款一次后出借人未催收的情况下，诉讼时效的起算需根据具体情况判断。出借人应密切关注诉讼时效的相关规定和要求，确保自己的合法权益得到有效保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。