申请依法履职的法律依据主要来源于我国的相关法律法规，这些法规明确了行政机关及其工作人员的职责和义务，为公民、法人或其他组织申请行政机关依法履行职责提供了法律基础。以下从几个方面详细阐述：

1. 宪法依据：

   • 我国《宪法》第四十一条规定：“中华人民共和国公民对于任何国家机关和国家工作人员，有提出批评和建议的权利；对于任何国家机关和国家工作人员的违法失职行为，有向有关国家机关提出申诉、控告或者检举的权利，但是不得捏造或者歪曲事实进行诬告陷害。”这一条款为公民申请行政机关依法履职提供了宪法上的依据，保障了公民的监督权。

2. 行政法规及部门规章：

   • 具体的行政法规和部门规章中，也明确规定了行政机关的职责和履职要求。例如，《中华人民共和国行政许可法》、《中华人民共和国行政处罚法》等，这些法律详细规定了行政机关在作出行政许可、行政处罚等具体行政行为时的程序和要求，确保了行政机关依法履职的规范性和透明度。
   • 此外，针对特定领域的行政机关，如市场监管、环境保护等，还有专门的法律法规对其职责和履职要求进行了明确规定。

3. 地方性法规及政府规章：

   • 除了国家层面的法律法规外，地方性法规和政府规章也对行政机关的职责和履职要求进行了具体规定。这些地方性法规和政府规章通常结合本地实际情况，对行政机关的履职行为进行了细化和补充，为公民申请行政机关依法履职提供了更加具体的法律依据。

4. 申请依法履职的具体途径：

   • 公民、法人或其他组织认为行政机关未依法履行职责的，可以通过多种途径申请其依法履职。例如，可以向该行政机关的上级机关提出申诉或控告，要求上级机关督促下级机关依法履职；也可以向人民法院提起行政诉讼，要求法院判决行政机关履行法定职责。
   • 在申请过程中，申请人应当提供充分的证据证明行政机关未依法履职的事实和理由，以便行政机关或法院能够准确判断并作出相应处理。

5. 法律后果：

   • 如果行政机关未依法履行职责，且经申请人申请后仍不改正的，可能会面临法律上的不利后果。例如，上级机关可能会对下级机关进行问责或处分；人民法院可能会判决行政机关履行法定职责，并可能对其处以罚款等处罚措施。

在实际操作中，如果您认为行政机关未依法履行职责，建议您首先收集相关证据材料，明确行政机关未履职的具体事实和理由。然后，您可以根据具体情况选择合适的途径申请行政机关依法履职，如向上级机关申诉、向人民法院提起行政诉讼等。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。