结论：即使没有签订书面合同，美容卡能否退钱也需根据具体情况判断，包括美容卡的使用情况、商家是否履行了相关义务以及是否存在法定或约定的退款事由等。

详细分析：

1. 合同形式与成立：

   • 根据《民法典》的相关规定，合同并不一定要以书面形式签订，口头合同或其他形式（如实际履行行为）也可以成立。因此，即使没有签订书面合同，只要双方有实际履行行为（如您支付了美容卡费用，商家提供了部分或全部服务），合同关系仍然可能成立。

2. 退款权利与合同履行：

   • 如果美容卡尚未使用或仅使用了部分，且商家未能按照约定提供服务（如服务质量不达标、存在欺诈行为等），您有权要求退款。这是因为商家未履行其合同义务，您作为消费者有权要求解除合同并退还相应款项。
   • 如果美容卡已经全部使用，且商家已经按照约定提供了服务，那么您要求退款可能缺乏法律依据。但在此情况下，如果商家存在违约行为（如服务不符合约定标准），您仍然可以要求商家承担违约责任，包括赔偿损失等。

3. 格式条款与消费者权益：

   • 如果商家在美容卡或相关宣传资料中规定了“不退卡”等格式条款，这些条款可能因违反《消费者权益保护法》的相关规定而无效。特别是当这些条款不合理地免除商家责任、加重消费者责任或限制消费者主要权利时，消费者有权主张这些条款无效，并要求退款。

4. 维权途径与建议：

   • 在与商家沟通退款时，建议您保留好美容卡、支付凭证、交易记录等相关证据，以便在维权过程中提供有力支持。
   • 首先尝试与商家进行协商，明确表达您的退款诉求和理由。如果商家拒绝退款或协商无果，您可以向当地的消费者协会或工商部门进行投诉，请求他们协助处理。
   • 如果问题仍未得到解决，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益，如向法院提起诉讼。

特殊情况说明：

• 如果商家在销售美容卡时存在欺诈行为（如虚假宣传、隐瞒重要信息等），您不仅可以要求退款，还可以根据《消费者权益保护法》的相关规定要求商家承担惩罚性赔偿责任。
• 如果美容卡涉及预付卡消费，且商家存在违规行为（如未按照规定备案、未保障消费者资金安全等），您还可以向相关监管部门进行举报，并要求商家承担相应的法律责任。

后续行动建议：

• 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，避免与商家发生不必要的冲突。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到充分保障，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。