结论：有限公司法人逝世且其子女不继承的情况下，变更财务负责人需分两步走，一是完成法人变更登记（若子女不继承可能涉及股权变更等导致法人变更），二是按照公司章程规定和法定程序进行财务负责人变更。以下是详细说明：
一、法人变更相关事宜（若因法人逝世且子女不继承导致需变更法人）
- 确定新法人
- 如果法人逝世后其子女不继承公司相关权益，那么公司股东需要重新协商确定新的法定代表人。新法人可以是公司现有股东，也可以是股东之外的其他符合法定条件的人。例如，若公司股东为多人，他们可以通过股东会决议的形式，从股东中选举出新法人；若股东一致同意，也可以聘请外部专业人士担任法人。
- 新法人需要具备完全民事行为能力，且没有《公司法》规定的不得担任法定代表人的情形，如无民事行为能力或者限制民事行为能力、因贪污、贿赂、侵占财产、挪用财产或者破坏社会主义市场经济秩序，被判处刑罚，执行期满未逾五年等。
- 准备变更登记材料
- 公司登记（备案）申请书：需填写公司的基本信息、变更事项等内容，并由公司法定代表人签署（在确定新法人前可由公司盖章确认变更意向）。
- 指定代表或者共同委托代理人的证明：应载明指定代表或者共同委托代理人的办理事项、权限、授权期限，并由公司盖章确认。同时附上指定代表或委托代理人的身份证件复印件。
- 关于修改公司章程的决议、决定：如果法人变更涉及公司章程中相关条款的修改，需要提交股东会决议或股东决定等文件。股东会决议应由代表三分之二以上表决权的股东签署（股东为自然人的由本人签字，自然人以外的股东加盖公章）；股东决定由股东签署（股东为自然人的由本人签字，法人股东加盖公章）。
- 修改后的公司章程或者公司章程修正案：需公司法定代表人签署（变更前法定代表人签署或公司盖章确认）。
- 原法定代表人的免职证明和新法定代表人的任职证明：免职证明一般由股东会出具，表明原法定代表人不再担任该职务；任职证明应明确新法定代表人的职务、任职期限等信息，可由股东会决议产生。
- 新法定代表人的身份证明复印件：提供新法定代表人的身份证或其他有效身份证件的复印件。
- 公司营业执照副本：用于办理变更登记时核验公司基本信息。
- 办理变更登记手续
- 将准备好的材料提交至公司登记机关，即市场监督管理部门。可以通过线上政务服务平台提交电子材料，也可以前往登记机关的办事窗口提交纸质材料。
- 登记机关会对提交的材料进行审核，如果材料齐全、符合法定形式，一般会在规定的工作日内（通常为 5 - 15 个工作日，具体时间因地区而异）完成变更登记，并换发新的营业执照。
二、财务负责人变更事宜
- 公司内部决策程序
- 查阅公司章程：公司章程是公司的“宪法”，其中可能对财务负责人的任免程序有明确规定。例如，有的公司章程规定财务负责人由董事会聘任或解聘，有的则规定由总经理提名，董事会决定等。
- 按照章程规定进行决策：根据章程规定，召开相应的会议（如董事会会议、总经理办公会等）进行讨论和决策。例如，若章程规定财务负责人由董事会聘任，那么需要召开董事会会议，经董事会成员表决通过后，形成聘任新财务负责人的决议。
- 办理变更登记或备案手续（如有需要）
- 税务变更：财务负责人的变更可能会影响到公司的税务事项，因此需要向税务机关办理变更登记。一般需要携带公司营业执照副本、新财务负责人的身份证明、公司出具的财务负责人变更证明等材料，前往公司所在地的税务机关办税服务厅办理变更手续。
- 银行变更：如果公司在银行开设了账户，财务负责人的变更也需要通知银行并进行相应的信息更新。通常需要提供公司营业执照副本、新财务负责人的身份证明、公司出具的授权委托书等材料，前往开户银行办理变更手续。
- 其他备案（如有）：根据公司的实际情况和相关行业规定，可能还需要向其他部门进行备案，如财政部门、统计部门等。具体备案要求和所需材料可咨询相关部门。
在整个过程中，要确保所有程序和材料的合法性、合规性，以避免后续可能出现的法律风险。如果在办理过程中遇到任何问题，都可以随时向我咨询。