在离婚诉讼中，原告当庭增加诉讼请求是可能的，但需满足一定条件并遵循相应程序。以下是对此问题的详细分析：
一、时间节点与程序要求
时间节点：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，原告增加、变更诉讼请求一般应在举证期限届满前提出。但在庭审过程中，若存在特殊情况，法庭可能基于诉讼效率、公平等原则，允许在法庭辩论结束前适当增加诉讼请求。若原告在法庭辩论结束后才提出，法院通常会要求原告另行起诉。
程序要求：
- 原告在提出增加诉讼请求时，应当向法庭提交书面的增加诉讼请求申请，并明确说明增加的诉讼请求内容及其理由。
- 法庭在收到申请后，会进行审查。如果认为增加的诉讼请求与原有的诉讼请求可以合并审理，且符合法律规定的条件，法庭会予以准许；否则，法庭会驳回申请，并告知原告另行起诉。
二、请求内容的关联性与合法性
关联性要求：
- 增加的诉讼请求必须与原有的诉讼请求有一定的关联性，不能是完全无关的请求。例如，在离婚诉讼中，原本只要求分割财产，后来增加要求对方支付抚养费或新发现财产的分割请求，这些通常会被法院视为与原诉求紧密相关而予以准许。
合法性要求：
- 增加的诉讼请求必须符合法律规定的起诉条件，包括具有明确的被告、具体的诉讼请求和事实、理由等。
三、对庭审秩序和当事人诉讼权利的影响
庭审秩序：
- 法院在考虑是否允许当庭增加诉讼请求时，会重点考虑该请求是否会对案件的正常审理秩序产生较大影响。如果新增请求可能导致案件事实过于复杂、影响庭审正常进行，法院可能会不予准许。
当事人诉讼权利：
- 另一方当事人有权根据具体情况决定是否同意在当前庭审中一并审理新增请求。如果认为新增请求需要时间准备证据、进行答辩等，可以向法官说明情况，请求法院给予合理的准备时间或者驳回对方当庭增加诉讼请求的申请。
四、实际操作中的注意事项
额外举证责任：
- 原告需要承担因增加诉讼请求而可能产生的额外举证责任。因此，在提出增加诉讼请求前，原告应充分准备相关证据，以确保诉求的合理性和可证明性。
可能延长诉讼周期：
- 增加诉讼请求可能会导致诉讼周期的延长，因为法院需要重新安排时间对新增的诉求进行审理。原告应做好心理准备，并合理安排自己的时间和精力。
裁定结果的不确定性：
- 法院会对增加的诉讼请求进行审查，并根据其合理性、合法性以及与原案件的关联性等因素作出是否准许的决定。因此，存在裁定结果的不确定性。原告应理解并接受这一风险。
五、举例说明
假设在离婚诉讼中，原告原本只要求分割夫妻共同财产中的房产和存款。但在庭审过程中，原告发现被告名下还有一辆未提及的汽车，且该汽车属于夫妻共同财产。此时，原告可以向法庭提交书面申请，要求增加分割该汽车的诉讼请求。如果法庭认为该请求与原有的诉讼请求可以合并审理，且符合法律规定的条件，法庭会予以准许。
总结来说，离婚诉讼原告当庭增加诉讼请求需满足时间节点、请求内容关联性与合法性、程序要求等条件，并考虑对庭审秩序和当事人诉讼权利的影响。在实际操作中，原告应充分准备相关证据，并理解可能延长诉讼周期和裁定结果的不确定性等风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。