债权人仅起诉债务人并获得法院判决支持后，对承担连带责任的保证人行使权利的方式主要有以下几种：

1. 直接申请强制执行保证人财产：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，连带责任保证的债务人在主合同规定的债务履行期届满没有履行债务的，债权人可以要求债务人履行债务，也可以要求保证人在其保证范围内承担保证责任。在债权人已经获得对债务人的生效判决后，若债务人未履行判决确定的义务，债权人可以直接向法院申请强制执行保证人的财产，前提是该判决中明确了保证人的连带责任或者债权人另行起诉保证人并获得了相应的生效判决。但更常见的且直接的方式是，在起诉债务人时，若能明确保证人的连带责任，可一并起诉保证人，获得对两者的共同判决后执行。若未一并起诉，在仅获得对债务人判决的情况下，理论上需先通过另行诉讼确认保证人责任（若判决未涉及），再申请执行，但实践中存在特殊情形处理，如下所述。
   • 特殊情形处理：若判决虽未直接涉及保证人，但债权人能证明保证人承担连带责任且债务人未履行判决，部分法院可能允许直接执行保证人财产（需符合特定条件，如保证人无异议或法院审查后认为可直接执行），这依赖于具体法院的裁判尺度。为避免风险，建议债权人尽量在起诉债务人时，将保证人列为共同被告。

2. 另行起诉保证人：

   • 法律程序：如果债权人在起诉债务人时并未将保证人列为共同被告，或者虽然起诉了但法院判决并未涉及保证人的责任，那么债权人在获得对债务人的生效判决后，仍然可以另行起诉保证人，要求其承担连带责任。
   • 证据准备：在另行起诉保证人时，债权人需要准备充分的证据，包括但不限于借款合同、保证合同、债务人未履行债务的证明（如生效判决）等，以证明保证人应当承担连带责任。

3. 在执行程序中追加保证人为被执行人（需满足一定条件）：

   • 法律依据：根据《最高人民法院关于民事执行中变更、追加当事人若干问题的规定》等相关司法解释，在执行程序中，如果债权人能够提供充分证据证明保证人应当承担连带责任，且符合法定条件，可以向法院申请追加保证人为被执行人。
   • 实践操作：这通常需要债权人向执行法院提交书面申请，并提供相关证据材料。法院在审查后，如果认为符合追加条件，会裁定追加保证人为被执行人，并对其财产进行强制执行。但需注意，此途径并非绝对，不同法院对追加被执行人的审查标准可能存在差异，且部分法院可能要求债权人先通过诉讼程序确认保证人责任。

法律建议：

• 优先一并起诉：为了避免后续的法律程序复杂性和不确定性，建议债权人在起诉债务人时，尽量将保证人列为共同被告，这样可以在一个诉讼程序中解决所有问题，提高效率。
• 及时行使权利：如果债权人决定另行起诉保证人或在执行程序中追加保证人为被执行人，应当及时行使权利，避免超过诉讼时效或执行时效。
• 咨询专业律师：由于每个案件的具体情况不同，债权人在行使权利时可能会遇到各种复杂问题。因此，建议债权人在行动前咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议。

可能法律后果：

• 如果债权人未能及时行使权利或未能提供充分证据证明保证人的连带责任，可能会导致其无法成功追究保证人的责任，从而遭受经济损失。
• 如果债权人错误地行使权利或违反法律程序，可能会面临被法院驳回申请或承担相应法律责任的风险。

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