当您遇到履职申请行政机关不处理的情况时，这确实是一个需要积极应对的问题。为了维护您的合法权益并促使行政机关依法履职，您可以依据相关法律法规，采取以下一系列措施：

一、内部监督途径

1. 向上级行政机关反映

   • 您可以通过书信、电子邮件或电话等方式，向该行政机关的上级主管部门或本级人民政府详细反映问题。在反映时，请务必说明行政机关不履行职责的具体情况，包括您提出申请的时间、内容以及行政机关未作处理的事实。
   • 这种方式适用于一般性的工作失误或轻微违法的不作为情况。例如，如果您向基层市场监管部门举报了商户的违规行为，但该部门未及时处理，您就可以向其上级部门反映。

2. 申请行政复议

   • 如果您认为行政机关明确拒绝履行职责或在法定期限内未作答复，且这种不作为已经对您的合法权益造成了实际损害，那么您可以在知道具体行政行为之日起六十日内（法律另有规定的除外）提出行政复议申请。
   • 申请行政复议时，您需要提交复议申请书及相关证据材料，以证明行政机关确实存在不履行职责的行为。

二、外部监督途径

1. 向监察机关举报

   • 如果您认为行政机关的不作为涉及公职人员的违法违纪行为，那么您可以向监察机关进行举报。
   • 举报时，请提供被举报部门及工作人员的基本情况和不履行职责的具体事实，以便监察机关进行调查处理。

2. 向人民法院提起行政诉讼

   • 如果其他途径都无法解决问题，且行政机关的不作为已经严重侵犯了您的合法权益，那么您可以依法向人民法院提起行政诉讼。
   • 在提起诉讼前，您需要撰写行政起诉状，明确被告行政部门信息、诉讼请求、事实和理由，并收集相关证据材料。然后，向有管辖权的人民法院提交起诉状和证据材料，等待法院的审理和判决。

三、借助社会力量

• 媒体曝光
  • 如果行政机关的不履行职责行为涉及公共利益，且其他途径效果不佳，那么您可以考虑向报纸、电视台、网络媒体等反映情况。
  • 在反映时，请确保提供的信息真实准确，以避免引起不必要的误解和纠纷。通过媒体曝光，可以引起社会的广泛关注，从而促使行政机关尽快履行职责。

四、注意事项

• 法律依据：在采取任何措施前，请务必了解相关的法律法规，如《行政诉讼法》等，以确保您的行为合法合规。
• 证据收集：为了证明行政机关确实存在不履行职责的行为，您需要尽可能收集相关证据。这些证据可能包括书面文件、电子邮件、录音录像、证人证言等。请务必妥善保存这些证据，以备不时之需。

综上所述，面对行政机关不履行职责的情况，您应首先尝试通过内部监督途径解决问题；若内部监督无效，则转向外部监督途径；在必要时，还可借助社会力量引起广泛关注。在整个过程中，请保持冷静、理性，并注重证据的收集和保存，这是维护您自身权益的关键。