结论：母亲是否有权把她自己那份遗产单独赠予一个子女，这主要取决于遗产的权属情况以及是否存在有效的遗嘱。在符合法律规定的前提下，母亲有权处置属于自己的遗产份额，但对于属于父亲遗产的部分，需遵循继承原则。

详细分析：

1. 遗产权属的判定：

   • 个人财产：如果遗产（如房产、存款等）是母亲的个人财产，例如婚前购买且登记在个人名下，或通过遗嘱等方式明确指定给母亲，那么母亲有权自主决定该遗产的归属，包括将其赠予某一个子女。
   • 共同财产：若遗产是父母的夫妻共同财产，则在父亲去世后，应首先进行析产。一半产权或财产作为母亲的原有财产，另一半作为父亲的遗产进行继承。此时，母亲仅能处置属于自己的那一半遗产或按照法定继承分得的遗产份额。

2. 继承原则的适用：

   • 有遗嘱的情况：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条，继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理。若父亲生前立有有效遗嘱，并明确指定了遗产的继承人或处理方式，则应按照遗嘱执行。如果遗嘱中指定由母亲继承全部或部分遗产，母亲有权根据遗嘱内容处理这部分遗产，包括赠予某一个子女。
   • 无遗嘱的情况：在没有遗嘱的情况下，父亲的遗产部分将按照法定继承办理。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。此时，配偶、子女、父母为第一顺序继承人，他们将共同继承父亲的遗产份额。母亲仅能处置属于自己的那一半遗产或按照法定继承分得的遗产份额，对于属于父亲遗产的部分，她不能单独决定其归属。

3. 母亲的处置权与限制：

   • 母亲作为遗产的共有人或法定继承人之一，有权通过立遗嘱或其他合法方式处置属于自己的遗产份额。
   • 如果母亲希望将整套遗产（包括属于父亲遗产的部分）指定给某个子女，必须获得其他所有继承人的书面同意，否则无法单方面实现这一目的。
   • 母亲在行使处置权时，应确保相关法律文件（如遗嘱）符合法律规定的形式和要件，以保证其合法性和有效性。

建议与注意事项：

• 母亲在处理遗产时应充分考虑家庭关系和子女的权益，避免因分配不均而引发家庭矛盾。
• 在涉及遗产处置前，建议详细梳理遗产的权属情况，并了解相关法律法规，以确保整个过程的合法性和顺利性。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。