若您在医院门口被树砸伤，可按以下步骤处理，并根据不同情况主张权利：

1. 立即确保人身安全并固定证据

   • 优先检查自身及同行人员是否受伤，若伤势严重需第一时间就医并保留医疗记录（如病历、发票、诊断证明等）。
     
   • 现场拍照或录像，记录树木倒塌位置、周边环境（如是否有警示标志）、树木状态（如是否腐朽、断裂痕迹）等，同时保存现场目击者联系方式（后续可能需证人证言）。

2. 明确责任主体并主张赔偿

   • 若树木由医院管理（如医院内或门口属于医院管辖范围）：
     根据《民法典》第1253条，医院作为管理人若未尽到管理职责（如未及时修剪、排查隐患），需承担侵权责任。您可向医院提出赔偿要求，协商不成可通过诉讼解决，赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费等合理损失。
     
   • 若树木由市政部门管理（如医院门口属于公共道路或绿化带）：
     根据《民法典》第1258条，市政部门若未尽到养护义务（如未定期检查、加固树木），需承担赔偿责任。您可联系当地市政园林部门或通过12345市民热线反馈，要求处理并协商赔偿。
     
   • 若因第三方行为导致树木倒塌（如车辆撞击、施工破坏）：
     由实际侵权人（如肇事司机、施工单位）承担责任。您需报警并调取监控，固定侵权证据后向责任方索赔。
     
   • 若因自然灾害等不可抗力导致（如台风、暴雨）：
     根据《民法典》第180条，若管理人已尽到合理管理义务（如提前发布预警、设置警示标志），可能无需担责；但若未采取必要措施（如未加固树木），仍需承担部分责任。

3. 特殊情形处理

   • 若您存在过错（如故意摇晃树木）：可能减轻或免除对方责任，需根据具体情节判断。
     
   • 若树木所有人与管理人分离（如医院将绿化委托给第三方公司）：根据《民法典》第1255条，由实际管理人承担责任，所有人有过错的（如选任不当）承担相应责任。

建议：处理过程中优先保留证据，与责任方协商时注意书面记录（如录音、聊天记录）；若协商无果，可携带证据向法院起诉或申请调解。如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。