结论前置：没签劳动合同被公司开除，劳动者在符合法定条件下有权要求用人单位支付双倍工资及可能的违法解除劳动关系的赔偿金或经济补偿。

一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿

法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，若用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者签订书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。

具体说明：

• 计算方式：以劳动者的月工资为基数，乘以未签订合同的月数（从用工之日起满一个月的次日起算，最长不超过11个月）。
• 举例：若劳动者于2023年1月1日入职，公司直至2023年10月1日均未与其签订劳动合同并随后将其开除，则公司应支付劳动者从2023年2月1日至2023年10月1日期间的双倍工资。若劳动者月工资为5000元，则公司需额外支付40000元（5000元×8个月，此处为简化计算，实际应按月工资基数和具体未签合同月数计算）。

二、被开除时的补偿或赔偿

1. 用人单位合法解除但需支付经济补偿的情形：

• 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，若劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任等情形，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，并需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿。
• 计算方式：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 举例：若劳动者在公司工作了2年且月工资为5000元，因不能胜任工作被合法开除，则公司应支付劳动者10000元（5000元×2）作为经济补偿。

2. 用人单位违法解除需支付赔偿的情形：

• 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，若用人单位违反法律规定解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
• 计算方式：赔偿金 = 经济补偿 × 2。即按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付两个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付一个月工资的赔偿金。
• 举例：若劳动者在公司工作了2年且月工资为5000元，公司违法将其开除，则应支付劳动者20000元（5000元×2×2）作为赔偿金。

三、特殊情况说明

• 劳动者故意或不愿意签订劳动合同：若劳动者故意或不愿意签订劳动合同，且用人单位能证明已尽到诚信缔约义务，那么在终止劳动关系时可能不需要支付经济补偿。但这一情况的判断需结合实际情况和法律规定进行具体分析。

四、维权建议

• 证据收集：为了成功获得上述赔偿，劳动者需要积极收集相关证据来证明与用人单位之间的劳动关系，包括但不限于工资支付记录（如工资条、银行工资流水）、工作证、考勤记录、同事的证人证言、工作沟通的聊天记录以及电子邮件等。
• 维权途径：在收集了充分证据后，劳动者可以先尝试与公司进行协商，协商不成时可以向当地的劳动监察部门投诉，或者依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

总结：没签劳动合同被公司开除，劳动者在符合法定条件下有权要求用人单位支付双倍工资及可能的违法解除劳动关系的赔偿金或经济补偿。具体数额和条件需根据实际情况和法律规定进行判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。