结论：儿媳殴打八十岁的婆婆，根据伤情鉴定结果，可能面临行政处罚或刑事处罚。派出所没有第一时间抓捕嫌疑人，可能是基于案件调查的需要或伤情鉴定结果尚未出具等原因。

详细分析：

1. 法律责任分析：

   • 行政处罚：如果婆婆的伤情鉴定结果为轻微伤，那么儿媳的行为可能违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，将面临行政处罚，如拘留、罚款等。
   • 刑事处罚：如果婆婆的伤情鉴定结果为轻伤或重伤，那么儿媳的行为可能构成故意伤害罪，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或管制等。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

2. 派出所未第一时间抓捕的原因：

   • 案件调查需要：派出所可能需要对案件进行进一步的调查，包括收集证据、询问证人等，以确定儿媳的行为是否构成犯罪以及犯罪的严重程度。
   • 伤情鉴定结果未出：在伤情鉴定结果尚未出具之前，派出所可能无法确定儿媳的行为是否构成犯罪，因此不会立即采取抓捕措施。
   • 其他法定程序：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在立案前可能需要进行初查，以确定是否有犯罪事实发生以及是否需要追究刑事责任。

3. 后续行动建议：

   • 及时报案：如果婆婆或其家属认为儿媳的行为构成犯罪，应及时向公安机关报案，并提供相关证据和线索。
   • 关注伤情鉴定：伤情鉴定结果是决定儿媳是否构成犯罪以及犯罪严重程度的关键因素，因此应密切关注伤情鉴定的进展和结果。
   • 寻求法律援助：如果婆婆或其家属在案件处理过程中遇到法律问题或需要法律帮助，可以寻求专业律师的协助，以维护自己的合法权益。

特殊情况说明：

• 如果儿媳的行为构成虐待罪（即经常以打骂、捆绑、冻饿、限制自由、凌辱人格、不给治病或者强迫作过度劳动等方法，从肉体上和精神上进行摧残迫害，情节恶劣的情形），那么即使婆婆的伤情鉴定结果为轻微伤或未构成轻伤，儿媳也可能面临刑事处罚。但这种情况需要具体分析儿媳的行为是否符合虐待罪的构成要件。

总结与建议： 儿媳殴打八十岁的婆婆，根据伤情鉴定结果可能面临行政处罚或刑事处罚。派出所没有第一时间抓捕嫌疑人可能是基于案件调查的需要或伤情鉴定结果尚未出具等原因。建议婆婆或其家属及时报案、关注伤情鉴定进展，并在需要时寻求法律援助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。