你可以通过准备相关证据材料、撰写起诉状、向有管辖权的法院提交材料并立案、参与庭审等步骤向法院起诉。具体如下：

1. 准备证据材料：

   • 事故现场照片或视频：如果可能，收集事故发生时的现场照片或视频，以证明事故发生的经过和狗狗的死亡情况。
   • 交警调解记录：提供交警部门出具的调解记录或事故认定书，这可以证明你已经尝试通过交警部门解决问题，但调解未果。
   • 狗狗的价值证明：如购买发票、宠物登记证、疫苗接种记录等，以证明狗狗的价值和你的所有权。
   • 证人证言：如果有目击者，可以请他们提供书面或口头的证言，描述事故发生的经过。

2. 撰写起诉状：

   • 明确被告：确定肇事车辆的车主或驾驶员作为被告。
   • 陈述事实与理由：在起诉状中详细陈述事故发生的经过、交警调解的情况、你的损失（包括狗狗的价值、你的精神损害等）以及你要求被告承担的责任（如赔偿损失、赔礼道歉等）。
   • 附上证据清单：列出你准备的所有证据材料，并说明每份证据的证明目的。

3. 向法院提交材料并立案：

   • 选择有管辖权的法院：通常，你可以选择事故发生地或被告住所地的基层人民法院提起诉讼。
   • 提交起诉状和证据材料：将起诉状和证据材料一并提交给法院，并按照法院的要求缴纳诉讼费用。
   • 等待法院立案：法院会对你的起诉进行审查，如果符合立案条件，会出具立案通知书，并通知你开庭时间。

4. 参与庭审：

   • 出庭应诉：按照法院通知的时间出庭应诉，陈述你的诉求和理由，并出示证据材料。
   • 接受法庭调查和辩论：在庭审过程中，你需要接受法庭的调查和辩论，对被告的答辩和证据进行质证和反驳。
   • 等待判决：庭审结束后，法院会依法作出判决。如果你对判决结果不服，可以在法定期限内提起上诉。

额外建议：

• 在起诉前，你可以尝试再次与被告进行协商，看是否能够达成和解协议，以节省时间和精力。
• 如果你对法律程序不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以考虑寻求法律援助或委托律师代理诉讼。

在处理此类案件时，请保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。