结论：私车公用没有租车协议，在发生工伤时并不直接导致工伤认定不合法，但可能影响工伤赔偿的具体处理和责任划分。
详细分析：
工伤认定的基本原则：
- 工伤认定主要依据的是《工伤保险条例》等相关法律法规，其核心在于判断员工是否在工作时间、工作场所内，因工作原因受到事故伤害。
- 私车公用本身并不改变工伤认定的基本原则。即使没有租车协议，只要员工是在执行工作任务时受伤，且符合工伤认定的其他条件，就应当被认定为工伤。
租车协议的作用：
- 租车协议在私车公用情况下，主要起到明确双方权利义务、费用承担、责任划分等作用。
- 没有租车协议，并不意味着私车公用行为本身不合法或无效，但可能在发生纠纷时，增加双方举证的难度和复杂性。
工伤赔偿的处理：
- 在没有租车协议的情况下，如果发生工伤，赔偿的处理可能会受到一定影响。例如，关于车辆使用费用的承担、责任划分等可能产生争议。
- 但这并不意味着工伤赔偿无法进行。根据《工伤保险条例》，员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金等。
- 具体赔偿金额和方式，可能需要根据实际情况，结合相关法律法规和司法实践进行确定。
法律建议：
- 对于员工：在私车公用时，建议与公司签订租车协议，明确双方权利义务，以保障自身权益。如果未签订协议且发生工伤，应及时收集相关证据，如工作记录、事故现场照片等，以支持工伤认定和赔偿请求。
- 对于公司：应建立健全私车公用管理制度，明确车辆使用、费用承担、责任划分等事项，并鼓励或要求员工签订租车协议。在发生工伤时，应积极配合员工进行工伤认定和赔偿处理。
可能的法律后果：
- 如果没有租车协议且发生工伤，双方可能因责任划分不清而产生纠纷。在极端情况下，可能需要通过法律途径解决争议，如提起劳动仲裁或诉讼。
- 但无论是否有租车协议，只要符合工伤认定的条件，员工都有权享受工伤保险待遇。公司不得以未签订租车协议为由拒绝承担工伤保险责任。
总结与进一步思考：
私车公用没有租车协议并不直接导致工伤认定不合法，但可能影响工伤赔偿的具体处理和责任划分。因此，建议双方在私车公用时签订租车协议，以明确双方权利义务，减少纠纷发生的可能性。如果发生工伤且未签订租车协议，双方应积极配合进行工伤认定和赔偿处理，必要时可寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。