您好，关于您提出的“老师能不能申请停薪留职”的问题，这主要取决于您所在学校或地区的相关规定。不过，我可以根据一般情况和一些具体的规定来为您详细解答。

首先，从普遍情况来看，教师在聘用期间通常是不被允许“停薪留职”或从事“第二职业”活动的。这是因为教师的工作具有其特殊性，需要全身心地投入到教育教学工作中，以确保教学质量和学生的全面发展。

具体到您提到的情境，如果以泥溪镇中心学校的教师队伍建设与管理规定为例，该规定明确指出：“教师聘用期间，不得‘停薪留职’或从事‘第二职业’活动。”这一规定是为了加强教师队伍建设，保证各校能够开足开齐课程，从而维护教育教学的正常秩序。

当然，如果教师因进修、病假、事假等原因需要长期离岗，学校会按照规定履行相关手续，并根据考勤制度进行处理。但这并不等同于“停薪留职”，而是在特定情况下的临时安排。

此外，如果教师有特殊情况需要离开工作岗位，比如夫妻两地分居、父母身边无子女需要照顾等，可以考虑申请教师调动。但调动也需要遵循一定的原则和程序，比如新招聘录用的大中专毕业生必须在聘用单位工作满一定年限，经考核合格后方可提出调动申请。

总结来说，教师在聘用期间通常是不能申请停薪留职的。如果您有特殊情况需要离开工作岗位，建议您与学校或当地教育主管部门进行沟通，了解具体的调动政策或请假制度，以便做出合理的安排。希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。