结论：在县级市发生打人事件后，即使医生初步判断伤情够轻伤，没有正式的伤情鉴定报告，公安机关通常不会立即抓人。这是因为伤情鉴定是刑事立案和采取强制措施的重要依据，且公安机关在处理此类案件时需遵循法定程序。
详细分析：
伤情鉴定的必要性：
- 在刑事案件中，伤情鉴定是确定被害人受伤程度、判断犯罪嫌疑人行为性质及量刑的重要依据。医生虽然可以初步判断伤情，但其判断并不具有法律效力，不能作为刑事立案的直接依据。
- 公安机关在接到报案后，会初步了解案情，但通常需要等待正式的伤情鉴定报告出来后，才能根据鉴定结果决定是否立案和采取强制措施。
公安机关的立案程序：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在接到报案、控告、举报或自首材料后，应迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任时，才会立案。
- 在打人事件中，如果医生初步判断伤情够轻伤，但尚未有正式的伤情鉴定报告，公安机关可能会先进行初步调查，如询问当事人、调取监控录像等，以收集更多证据。
- 一旦伤情鉴定报告出来，确认伤情达到轻伤及以上标准，公安机关将依法立案，并可能对犯罪嫌疑人采取强制措施，如拘留、逮捕等。
可能的情况与处理：
- 伤情未达轻伤标准：如果伤情鉴定报告显示伤情未达轻伤标准，那么该事件可能仅构成治安案件，公安机关将依据《中华人民共和国治安管理处罚法》对打人者进行行政处罚，如罚款、拘留等。
- 伤情达轻伤及以上标准：如果伤情鉴定报告显示伤情达到轻伤及以上标准，那么该事件将构成刑事案件，公安机关将依法立案侦查，并可能对犯罪嫌疑人采取强制措施。同时，被害人也有权向法院提起刑事附带民事诉讼，要求犯罪嫌疑人赔偿经济损失。
对当事人的建议：
- 及时报案：如果发生打人事件，被害人应立即向公安机关报案，并尽可能提供详细的案情描述和证据材料。
- 配合调查：在公安机关调查过程中，被害人应积极配合，如实陈述事实，提供必要的协助。
- 关注伤情鉴定：被害人应关注伤情鉴定的进展，确保鉴定结果准确、公正。如果对鉴定结果有异议，可以依法申请重新鉴定。
- 寻求法律帮助：在整个过程中，被害人可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
后续行动建议：
- 如果您或您身边的人遭遇了类似情况，建议立即向公安机关报案，并保留好相关证据材料。
- 同时，您可以关注伤情鉴定的进展，确保鉴定结果能够准确反映实际情况。
- 如有需要，您可以随时向我咨询相关法律问题，我将为您提供专业的法律帮助。