结论：在上班期间因精神抑郁自杀死亡，一般情况下不能认定为工伤。但在特定且极为罕见的情况下，如果能证明自杀与工作存在直接且必然的因果关系，法律实践中可能会有不同认定，不过这种情况举证难度极大。
法律依据与法理分析
根据《工伤保险条例》第十六条明确规定，职工自残或自杀的，不得认定为工伤或者视同工伤。工伤保险制度的核心目的是保障因工作原因受到事故伤害或患职业病的职工获得医疗救治和经济补偿。自杀行为是基于个人主观故意结束生命的行为，并非由工作原因导致的直接或间接伤害，因此不符合工伤保险的认定条件。
具体分析
自杀行为的性质：
- 自杀是个体在自主意志支配下采取的自我伤害行为，其本质是个人主观选择，而非工作直接导致的身体损伤。从工伤保险的基本原则来看，自杀并不符合因工作原因受到伤害或患病的工伤认定条件。
工伤认定的核心要素：
- 工伤保险主要是为了保障员工因工作原因（如工作时间、工作地点、履行工作职责）受到事故伤害或患病的情况。自杀并非工作过程中的意外伤害，也不是职业病范畴，故通常被排除在工伤认定之外。
特殊情况考量：
- 尽管一般情况下自杀不被认定为工伤，但若存在特殊情形，即如果有充分证据证明该自杀行为并非完全基于个人自主意志，而是由于工作中存在的特定极端压力、极其严重的环境等因素直接导致当事人失去正常判断能力而产生的极端行为，并且这种行为与工作环境、工作压力等有直接且必然的因果关系，那么在法律实践中，可能会根据具体情况有不同的认定结果。然而，这种情况极为罕见，且需要严格的证据和法律评估，举证难度极大。
实际操作建议
- 证据收集：如果家属或相关方认为存在特殊情况，应尽可能收集与工作相关的证据，如工作强度的证明、工作环境危害的证明、与工作相关的精神伤害的医疗鉴定等，以证明自杀与工作存在直接因果关系。
- 法律途径：在收集到充分证据后，可以尝试通过法律途径（如行政复议、行政诉讼）来争取工伤认定。但要做好心理准备，因为这种情况下的认定结果具有不确定性。
- 预防措施：对于企业和用人单位而言，应关注员工的心理健康状况，及时提供必要的心理支持和干预措施，以预防类似事件的发生。这不仅是企业社会责任的体现，也有助于减少潜在的法律风险。
可能的法律后果
- 如果最终未能被认定为工伤，家属可能无法获得工伤保险的相关待遇，如丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
- 如果被认定为工伤，家属则有权获得相应的工伤保险待遇。但如前所述，这种情况极为罕见，且需要严格的证据和法律评估。
综上所述，上班期间因精神抑郁自杀死亡能否认定为工伤是一个复杂且敏感的问题。在一般情况下很难被认定为工伤，但若存在特殊情况且能提供充分证据，法律实践中可能会有不同认定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。