针对小区里业主养狗的问题，物管可以依据《荆州市养犬管理条例》等相关法规进行管理和处理。以下是一些具体的处理方式和建议：
一、明确管理原则与职责
- 管理原则：养犬管理实行政府部门监管、养犬人自律、基层组织参与、社会公众监督相结合的原则。
- 物管职责：作为基层组织的一部分，物管应积极参与养犬管理工作，与政府部门、业主委员会等形成合力，共同维护小区的公共秩序和居住环境。
二、分区域管理
- 重点管理区：通常包括城市建成区和实行城市化管理的区域。在这些区域内，养犬行为受到更为严格的限制和管理。
- 一般管理区：为重点管理区以外的区域，养犬管理相对宽松，但仍需遵守基本规定。
三、规范养犬行为
- 禁止在共有区域养犬：在重点管理区内，业主不得在小区楼道、楼顶、绿化带、地下停车场等共有区域饲养犬只。物管应加强巡查，发现此类行为及时劝阻并上报相关部门。
- 控制犬吠：犬吠影响他人时，养犬人应当采取有效措施予以制止。物管可以协助调解因犬吠引起的邻里纠纷，必要时可联系相关部门进行处理。
- 遛狗牵绳与清理粪便：携犬只外出时，应佩戴犬只识别牌、束犬链（绳），并即时清除犬只粪便。物管可以在小区内设置明显的提示标识，提醒业主遵守相关规定，并对违规行为进行劝阻和记录。
四、处理违法养犬行为
- 十类违法养犬行为：包括重点管理区内饲养犬只超过限养数量、未依法办理养犬登记、遗弃虐待犬只、在共有区域养犬、未制止犬吠影响他人、携犬外出未牵绳或未清理粪便等。对于这些行为，物管应及时发现并上报相关部门，由相关部门根据情节轻重给予警告、罚款、没收犬只等处罚。
- 犬只伤人处理：若发生犬只伤人事件，物管应立即协助将受害人送至医疗机构诊治，并先行垫付医疗费用（如情况允许）。同时，及时联系养犬人并上报相关部门，依法追究养犬人的法律责任。
五、加强宣传与教育
- 宣传养犬法规：物管可以通过小区公告栏、微信群等方式，定期宣传养犬管理法规和相关政策，提高业主的法治意识和文明养犬意识。
- 组织文明养犬活动：可以定期组织文明养犬宣传活动，如养犬知识讲座、文明养犬示范户评选等，引导业主树立正确的养犬观念和行为习惯。
六、建立投诉与反馈机制
- 设立投诉渠道：物管应设立专门的投诉渠道，如投诉电话、邮箱等，方便业主对违法养犬行为进行投诉和举报。
- 及时反馈处理结果：对于业主的投诉和举报，物管应及时进行调查处理，并将处理结果反馈给业主，增强业主对物管工作的信任和支持。
综上所述，物管在处理小区内业主养狗问题时，应依据相关法规进行规范管理，加强宣传与教育，建立投诉与反馈机制，与政府部门、业主委员会等形成合力，共同维护小区的公共秩序和居住环境。