结论：公司仅因老员工上夜班打瞌睡被记大过三次就将其辞退，这一做法很可能构成违法解除劳动合同，老员工有权要求公司支付赔偿金或要求继续履行劳动合同。

分析如下：

1. 辞退的合法性：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须基于法定事由，如员工严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等。在此案例中，老员工上夜班打瞌睡虽可能违反了公司的规章制度，但仅凭三次记大过就将其辞退，可能并不构成“严重违反公司规章制度”的法定情形。
   • 公司需要证明老员工的行为已经达到了足以解除劳动合同的严重程度，且这一行为与公司规章制度中的相关规定相匹配。如果公司规章制度中并未明确规定打瞌睡达到三次即可辞退，或者该规定本身不合理，那么公司的辞退行为就可能缺乏合法性。

2. 赔偿金的计算：

   • 如果老员工选择要求公司支付赔偿金，根据《劳动合同法》的规定，赔偿金应按照员工在公司的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
   • 在此案例中，老员工已经工作了19年，因此如果公司违法解除劳动合同，老员工有权要求公司支付19个月的工资作为赔偿金。具体计算公式为：赔偿金 = 工作年限 × 月工资 = 19 × 月工资。

3. 继续履行劳动合同的可能性：

   • 除了要求支付赔偿金外，老员工还可以选择要求公司继续履行劳动合同。这通常发生在员工希望继续留在公司工作，或者认为公司的辞退行为对其造成了不公平的待遇时。
   • 如果老员工选择要求继续履行劳动合同，法院或劳动仲裁机构将根据具体情况判断是否支持这一请求。如果支持，公司将需要恢复老员工的工作岗位，并支付其因辞退而损失的工资和福利。

4. 建议与行动：

   • 对于老员工来说，首先应当收集相关证据，如公司规章制度、记大过的通知、辞退通知等，以证明公司的辞退行为缺乏合法性。
   • 然后，老员工可以与公司进行协商，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。如果协商无果，老员工可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，或者向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

后续思考：

• 在此案例中，老员工作为工作了19年的老员工，离退休还差5年，其权益应当得到特别的保护。公司在辞退员工时，应当更加谨慎地考虑其行为是否合法、合理，并充分尊重员工的权益。
• 同时，老员工也应当了解自己的权益和法律途径，以便在遭遇不公平待遇时能够及时维护自己的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。