当老人去世且没有留下遗嘱时，其银行存款的提取确实会涉及一些法律程序和规定。以下是根据您提供的信息以及相关法律法规，为您详细解答的流程：
一、基本原则
老人去世后，其银行存款将作为遗产由继承人继承。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承有明确的顺序，首先是第一顺序继承人（配偶、子女、父母），如果没有第一顺序继承人，则由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。
二、提取存款的途径
公证处公证：
- 合法继承人可以持本人身份证、户口本，并提供直系亲属关系证明等材料，到公证处申请办理继承公证书。
- 取得公证书后，继承人可以凭此到银行提取已故老人的存款。
- 特别说明：根据最新规定，如果已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币，继承人无需提交公证书就可一次性提取已故存款人存款及利息。但需提供能够证明已故存款人死亡事实的材料、提取申请人的有效身份证件、提取申请人亲笔签名的承诺书，以及居民户口簿、结婚证、出生证明等能够证明亲属关系的材料。
法院诉讼：
- 如果存款的继承权存在纠纷，或者继承人无法通过公证方式提取存款，可以继承权纠纷或储蓄合同纠纷为由，向人民法院提起诉讼。
- 法院在审理后，会作出判决或调解书，明确存款的继承权归属。
- 继承人可以凭法院的生效裁判文书到银行提取存款。
三、特殊情况处理
- 丧葬费、抚恤金：如果已故老人的账户中汇入了丧葬费、抚恤金，这些资金不计入5万元的账户限额，可以全额简化提取。继承人只需通过适当方式表明账户中资金属于丧葬费、抚恤金，并签署承诺书，银行在核查交易信息和资金来源后，会办理简化提取。
四、建议与注意事项
- 提前了解政策：由于银行存款提取政策可能因地区和银行而异，建议继承人在处理前先咨询当地银行或相关部门，了解具体的提取流程和所需材料。
- 保留相关证据：在处理过程中，继承人应保留好所有与已故老人相关的证据材料，如身份证、户口本、亲属关系证明等，以便在需要时提供。
- 协商处理：如果继承人之间对存款的继承权存在争议，建议先通过协商或调解方式解决，以避免不必要的法律纠纷和费用支出。
综上所述，当老人去世且没有遗嘱时，其银行存款的提取可以通过公证处公证或法院诉讼两种途径进行。同时，根据最新规定，小额存款的提取流程已经得到了简化，为继承人提供了更多便利。