结论：未成年被抓后签字按手印当天被放出，是否会有案底，需根据具体情况判断，若未受到刑事处罚，一般不会有案底；若受到刑事处罚，则会有案底。

分析说明：

1. 案底的定义与形成：

   • 案底，通常指的是犯罪记录，即某人因犯罪行为受到刑事处罚后，在司法机关留下的记录。
   • 案底的形成需要满足两个条件：一是存在犯罪行为；二是该犯罪行为被司法机关依法认定并给予刑事处罚。

2. 未成年人被抓后签字按手印当天被放出的可能情况：

   • 未构成犯罪或情节轻微：如果未成年人的行为未构成犯罪，或者情节轻微，不认为是犯罪，那么司法机关可能会对其进行教育、训诫后释放，而不会给予刑事处罚。这种情况下，不会形成案底。
   • 构成犯罪但情节较轻，符合取保候审或监视居住条件：如果未成年人的行为构成犯罪，但情节较轻，符合取保候审或监视居住的条件，司法机关可能会决定对其取保候审或监视居住，并要求其签字按手印作为保证。这种情况下，虽然未成年人被释放，但如果后续被依法审判并受到刑事处罚，则会形成案底。
   • 构成犯罪但暂未起诉或审判：在某些情况下，未成年人可能因涉嫌犯罪被抓，但司法机关在初步调查后认为证据不足或需要进一步调查，因此决定暂时释放并继续侦查。这种情况下，如果后续证据确凿，未成年人被依法起诉并审判，且受到刑事处罚，则会形成案底。

3. 签字按手印的法律意义：

   • 签字按手印通常是司法机关要求当事人确认某些事实或承诺遵守某些规定的法律程序。
   • 在未成年人被抓的情况下，签字按手印可能用于确认其身份、接受教育或训诫、承诺遵守取保候审或监视居住的规定等。
   • 签字按手印本身并不直接决定是否会形成案底，而是取决于未成年人的行为是否构成犯罪以及是否受到刑事处罚。

法律建议：

• 如果未成年人被抓后签字按手印当天被放出，家长或监护人应首先了解释放的具体原因和后续可能面临的法律程序。
• 如果未成年人未受到刑事处罚，家长或监护人应加强对其的教育和监管，防止其再次违法犯罪。
• 如果未成年人可能面临刑事处罚或已经受到刑事处罚，家长或监护人应尽快咨询专业律师，了解相关法律程序和权利义务，为未成年人提供必要的法律帮助和辩护。

后续行动指南：

• 保留所有与案件相关的文件和证据，如释放证明、签字按手印的文件等。
• 密切关注案件的进展和司法机关的通知，及时配合调查和审判工作。
• 如有需要，及时向我咨询相关法律问题，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。