结论：父母与子女之间的关系能否断绝，取决于关系的性质。基于自然血缘的父母子女关系，无法通过法律手段或其他方式断绝；而基于拟制血亲的父母子女关系，如养父母与养子女、继父母与受其抚养教育的继子女关系，在一定条件下可以解除。
一、自然血亲的父母子女关系
不可解除性：
- 自然血亲的父母子女关系是基于血缘形成的，是法定的且不可通过法律手段或其他方式人为解除。这种关系是与生俱来的，无法改变。
- 即使双方签订“断绝关系”的协议，该协议也是无效的，不具有法律效力。因为血缘关系不是合同关系，不能通过协议来解除。
法定权利义务：
- 父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务；成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。
- 这些权利义务关系不因任何人为行为而改变，只能因父母或子女一方的死亡而终止。例如，即使父母与子女之间存在矛盾，父母仍然有义务抚养未成年子女，子女在父母年老时也有义务赡养父母。
法律依据：
- 根据我国《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或母直接抚养，仍是父母双方的子女，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
二、拟制血亲的父母子女关系
养父母与养子女关系：
- 解除条件：养子女成年以前，收养关系可以由收养人、送养人双方协议解除，且养子女年满八周岁以上的，应当征得本人同意。养子女成年后，若关系恶化、无法共同生活，可以协议解除收养关系；不能达成协议的，可以向人民法院提起诉讼。
- 法律后果：收养关系解除后，养子女与养父母及其他近亲属间的权利义务关系即行消除。例如，养子女不再承担对养父母的赡养义务，养父母也不再享有对养子女的抚养、教育等权利。
继父母与继子女关系：
- 解除条件：如果继父母与继子女间形成了抚养教育关系，后因某些原因需解除，可以通过双方协商一致或通过法院判决等方式进行。例如，继父母与继子女之间因性格不合、生活矛盾等原因无法继续共同生活，可以协商解除关系。
- 法律后果：关系解除后，相应的权利义务关系也不再存在。继子女不再承担对继父母的赡养义务（如果形成了抚养教育关系且继子女已成年），继父母也不再享有对继子女的抚养、教育等权利。
三、法律效力与责任
协议无效性：
- 自然血亲的父母子女之间签订的断绝亲子关系的协议是不具有法律效力的。试图通过此类协议断绝关系的行为在法律上不被承认。
持续存在的权利义务：
- 无论是否尝试断绝关系，父母与子女之间的法定权利义务均持续存在。不履行法定义务的一方，另一方有权依法要求履行，并可通过法律途径追究其责任。例如，如果父母不履行抚养未成年子女的义务，子女可以通过法律途径要求父母支付抚养费。
建议：家庭关系的稳定和和谐对于每个成员都至关重要。在遇到矛盾和问题时，建议通过沟通、协商或其他合法途径进行解决，而不是试图通过断绝关系来逃避责任或解决矛盾。如果确实存在无法调和的矛盾，且属于拟制血亲关系，可以依法解除关系，但应充分考虑解除关系后的法律后果和责任。有问题可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。