结论：在劳动仲裁后公司不服上诉的情况下，员工确实有权对仲裁不服的事项提出诉讼，但需满足一定的条件和程序要求。

一、员工提出诉讼的权利基础

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》等相关法律法规，员工作为劳动仲裁的被申请人，在劳动仲裁结束后，如果公司对仲裁结果不服并提起上诉，员工有权在规定期限内提出诉讼。这是法律赋予员工维护自身合法权益的重要途径。

二、员工提出诉讼的条件与程序

1. 诉讼请求的关联性：

   • 员工提出的诉讼请求应当与原劳动仲裁的请求具有关联性，即针对的是同一劳动争议事项。

2. 提交诉讼材料：

   • 员工需要准备诉讼材料，包括起诉状、相关证据材料等。起诉状应详细列明原告（员工）和被告（公司）的基本信息、诉讼请求、事实与理由等。
   • 证据材料应能够支持员工的诉讼请求，如劳动合同、工资发放记录、考勤记录等。

3. 提交诉讼申请：

   • 员工应在规定的期限内将诉讼材料提交给受理上诉的法院。这个期限通常是从员工收到公司上诉通知或法院传票之日起计算，具体期限可能因地区而异，建议尽快准备并提交。

4. 等待法院审查与受理：

   • 法院会对员工的诉讼进行审查，只有符合相关条件的诉讼才会被受理。一旦受理，法院会安排开庭审理，并通知双方当事人参加。

三、员工提出诉讼的注意事项

1. 确保诉讼请求的合法性与合理性：

   • 员工提出的诉讼请求应当基于真实合理的事实理由，并符合法律法规的规定。避免提出无根据或不合法的请求，以免浪费司法资源和时间。

2. 提供充分的证据支持：

   • 证据是诉讼的关键。员工应尽可能收集并提供充分的证据来支持自己的诉讼请求。如果证据不足或存在瑕疵，可能会影响诉讼结果。

3. 遵守诉讼程序与法庭纪律：

   • 在诉讼过程中，员工应遵守诉讼程序和法庭纪律，按照法官的指引进行陈述、举证、质证和辩论等环节。尊重法庭和对方当事人，维护诉讼的公正性和严肃性。

四、实际案例与法律后果

• 实际案例：假设某员工与公司因劳动报酬发生争议，经过劳动仲裁后，公司不服仲裁结果并提起上诉。员工认为仲裁裁决中关于加班费的计算有误，因此决定提出诉讼。在诉讼过程中，员工提供了详细的加班记录和工资发放记录作为证据，最终法院支持了员工的诉讼请求，判决公司支付正确的加班费。

• 法律后果：如果员工提出的诉讼请求得到法院支持，公司需要履行法院判决，支付相应的款项或采取其他补救措施。如果公司不履行判决，员工可以申请法院强制执行。同时，公司也可能因违反劳动法律法规而面临行政处罚或民事赔偿等法律后果。

总结与建议：在劳动仲裁后公司不服上诉的情况下，员工有权提出诉讼来维护自己的合法权益。但提出诉讼前需要仔细考虑诉讼请求的合法性与合理性，并准备充分的证据支持。在诉讼过程中要遵守诉讼程序和法庭纪律，尊重法庭和对方当事人。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。