结论前置：公司裁员在特定情况下确实可以不用支付经济补偿，这些情况主要包括劳动者过错导致解雇、经济性裁员中的协商一致解除或特定法定情形、试用期内的合法解除、固定期限合同到期终止的例外以及其他特殊情形。以下是对这些情形的详细分析：

1. 劳动者过错导致解雇的情形：

   • 严重违纪：如员工存在旷工、泄露商业秘密等严重违反公司规章制度的行为，公司可以直接解除劳动合同且无需支付经济补偿。
   • 失职渎职：员工因故意或重大过失给公司造成重大损失的，公司同样有权直接解雇且无需赔偿。
   • 双重劳动关系：若员工未经公司允许与其他单位建立全职劳动关系，影响本职工作，公司可解除劳动合同。
   • 欺诈胁迫：员工通过虚假信息骗取劳动合同的，公司有权解除合同。
   • 刑事犯罪：员工被依法追究刑事责任的，公司可直接解除劳动合同。

2. 经济性裁员的法定程序与例外：

   • 若企业因经济性原因（如经营困难、技术革新等）需裁员20人以上或占员工总数10%以上，必须提前30日向工会或全体职工说明情况，听取意见并报备劳动行政部门。
   • 在此前提下，若员工自愿接受裁员方案并签署协议（协商一致解除），或企业进入法定破产程序且资不抵债（破产重整），或原岗位因政策调整、自然灾害等不可抗力消失且无法提供替代岗位（客观情况变化），企业可免除赔偿义务。

3. 试用期内的合法解除：

   • 试用期内，若员工不符合录用条件（需公司提供明确考核标准）或存在欺诈、隐瞒等行为影响合同效力，企业可解除合同且无需赔偿。

4. 固定期限合同到期终止的例外：

   • 若劳动合同期满且企业维持或提高待遇续签，员工拒绝续签的，企业无需支付经济补偿。但需注意，企业不得以降低原待遇为条件续签，且连续订立两次固定期限合同后，第三次应签订无固定期限合同。

5. 其他特殊情形：

   • 退休返聘人员：已享受养老保险待遇的退休人员不适用劳动法补偿规定。
   • 实习生：未建立正式劳动关系的实习学生不受此限制。

法律建议：对于公司而言，在裁员时务必遵循法定程序，确保裁员行为的合法性，以避免不必要的法律纠纷。对于员工而言，若遭遇裁员且认为公司未依法支付经济补偿，可及时咨询专业律师，了解自身权益并寻求法律援助。

进一步思考：在实际操作中，裁员补偿问题往往涉及复杂的法律关系和事实认定。因此，无论是公司还是员工，在处理此类问题时都应谨慎行事，确保自身行为的合法性。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。