公司在以下六种情况下辞退员工无需支付经济补偿：
试用期不符合录用条件
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 具体情形：公司需在招聘时明确告知录用条件，并在试用期内对员工进行考核。若员工未达到录用条件，公司需提供充分证据，如考核记录、业绩不达标证明等，方可解除劳动合同。
- 示例：某公司招聘销售岗位，明确要求试用期业绩需达到10万元。若员工在试用期内业绩仅为5万元，且公司有完整的考核记录，则公司可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。
严重违反公司规章制度
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 具体情形：公司需有完善且合法公示的规章制度，员工存在严重违反制度的行为，如多次旷工、泄露商业秘密、打架斗殴等。
- 示例：某公司规章制度明确规定，员工连续旷工三天视为自动离职。若某员工连续旷工四天，公司可依据规章制度解除劳动合同，无需支付经济补偿。
严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 具体情形：员工的失职或舞弊行为需与损害结果之间存在因果关系，且损害达到重大程度。公司需提供充分证据证明员工的失职或舞弊行为及造成的重大损害。
- 示例：某公司财务人员因疏忽导致公司资金损失50万元，且该损失与财务人员的失职行为存在直接因果关系。公司可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。
同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出，拒不改正
- 法律依据：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 具体情形：员工与其他单位建立劳动关系，分散精力，影响本职工作，或经公司提出后拒不改正。
- 示例：某员工在业余时间兼职其他公司工作，导致本职工作频繁出错，且经公司提出后仍拒不改正兼职行为。公司可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。
以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使单位在违背真实意思情况下订立或变更劳动合同，导致合同无效
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的，该劳动合同无效，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 具体情形：员工提供虚假学历、工作经历等信息，使用人单位在违背真实意思的情况下订立合同。
- 示例：某员工在应聘时提供虚假学历证明，公司基于该证明与其订立劳动合同。后公司发现学历证明为假，可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。
被依法追究刑事责任
- 法律依据：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 具体情形：员工被法院判处刑罚，包括主刑和附加刑，如有期徒刑、拘役、罚金等。
- 示例：某员工因犯罪被法院判处有期徒刑一年，公司可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。
法律建议：
- 公司角度：公司在辞退员工时，应确保自己的行为符合法律法规，并能提供充分证据支持决定。否则，可能面临支付经济补偿金、赔偿损失等法律责任。同时，公司应加强内部管理，确保规章制度的合规性与员工的忠诚度。
- 员工角度：员工应遵守公司规章制度和法律法规，维护自身职业操守与信誉。若遭遇公司违法辞退，可依法维护自身权益，如申请劳动仲裁或提起诉讼。
在处理辞退问题时，双方应秉持公平、公正的原则，共同维护和谐的劳动关系。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。