结论前置：私人和公司没有书面合同，也能申请劳动仲裁。以下从不同角度为你详细分析：

法律层面：事实劳动关系受保护

根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立：

1. 用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；
2. 用人单位依法制定的各项劳动规章制度适用于劳动者，劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动；
3. 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。

也就是说，即便没有书面合同，只要存在事实劳动关系，劳动者就依法享有相应的权益。比如，公司按月给你发放工资，你接受公司的考勤管理，按照公司安排完成工作任务等，这些情况都能证明你和公司之间存在事实劳动关系。在这种情况下，如果发生劳动纠纷，你完全可以申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

证据收集：证明事实劳动关系是关键

虽然没有书面合同，但在申请劳动仲裁时，你需要提供能够证明事实劳动关系存在的证据。以下这些证据都可能起到关键作用：

1. 工资支付凭证：如银行工资流水记录，这能直观地显示公司定期向你支付工资的情况，是证明劳动关系的重要证据之一。
2. 工作证、服务证等：这些证件上通常会有公司的名称、你的姓名和职位等信息，能够证明你是公司的员工。
3. 考勤记录：包括打卡记录、签到表等，可以证明你在公司的工作时间和出勤情况。
4. 招聘记录：如入职登记表、报名表等，能显示你应聘公司岗位并被录用的过程。
5. 同事证言：如果有同事愿意为你作证，证明你在公司工作以及相关的工作情况，这也是有力的证据。
6. 工作邮件、聊天记录等：如果你在工作中通过邮件、即时通讯工具与公司进行沟通，这些记录中可能包含工作任务安排、工作汇报等内容，能够证明你为公司提供劳动。

申请流程：与有书面合同的情况基本一致

申请劳动仲裁的流程并不因为是否有书面合同而有所不同，一般包括以下几个步骤：

1. 提交申请：你需要向劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请，并按照被申请人人数提交副本。仲裁申请书应当载明你和用人单位的基本信息、仲裁请求和所根据的事实、理由、证据和证据来源、证人姓名和住所等内容。
2. 受理审查：劳动争议仲裁委员会收到仲裁申请之日起五日内，认为符合受理条件的，应当受理，并通知你；认为不符合受理条件的，应当书面通知你不予受理，并说明理由。
3. 开庭审理：仲裁庭在开庭五日前，会将开庭日期、地点书面通知双方当事人。如果你无正当理由拒不到庭或者未经仲裁庭同意中途退庭的，可以按撤回仲裁申请处理；被申请人反申请的，可以缺席裁决。
4. 裁决：仲裁庭裁决劳动争议案件，应当自劳动争议仲裁委员会受理仲裁申请之日起四十五日内结束。案情复杂需要延期的，经劳动争议仲裁委员会主任批准，可以延期并书面通知当事人，但是延长期限不得超过十五日。逾期未作出仲裁裁决的，你可以就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。

风险提示：证据不足可能影响仲裁结果

虽然没有书面合同可以申请劳动仲裁，但如果证据不足，可能会导致仲裁委员会无法认定事实劳动关系的存在，从而影响仲裁结果。例如，你无法提供任何能够证明你在公司工作的证据，那么仲裁委员会可能难以支持你的仲裁请求。因此，在申请劳动仲裁前，一定要尽可能收集充分的证据来证明事实劳动关系。

如果你在劳动仲裁过程中遇到任何问题，或者需要进一步的法律帮助，都可以直接向我咨询。