面对交警未出具交通事故责任认定书的情况，您可以按照以下步骤来处理，以确保您的合法权益得到妥善维护：

一、了解原因并主动沟通

首先，您需要主动与负责处理事故的交警部门取得联系，以诚恳和礼貌的态度询问未出具责任认定书的具体原因。可能的原因包括事故情况复杂需要进一步调查、证据不足需要补充、或者程序性问题导致的延误等。同时，您可以尝试获取一个明确的处理时限，以便了解后续的进展。

二、依据法律主张权利

根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十三条的规定，公安机关交通管理部门有义务及时制作交通事故认定书，作为处理交通事故的证据。如果交警部门超过规定时间仍未出具责任认定书，您有权依据相关法律法规，向该交警部门的上级机关或同级人民政府的法制部门提出行政复议申请，要求监督和纠正交警部门的不作为，并督促其在规定时间内依法出具责任认定书。行政复议申请应在您知道具体行政行为之日起六十日内提出。

三、向上级部门反映与投诉

如果与交警部门的沟通没有取得满意的结果，您可以向交警所在地的交警大队、交警支队或公安局等上级部门进行反映。在反映情况时，请详细说明事故经过、交警部门的处理情况以及您的诉求，并提供相关证据和沟通记录。同时，您也可以向公安机关的督察部门或纪检监察部门投诉交警部门的不履职行为，以寻求监督和督促其依法处理事故。

四、保留证据并寻求法律援助

在整个处理过程中，您务必注意保留与事故及处理过程相关的各种证据，如现场照片、视频、证人证言、沟通记录等。这些证据将在后续的责任认定以及可能的法律程序中起到至关重要的作用。如果以上途径均无法解决问题，您可以考虑寻求律师的帮助。律师可以提供专业的法律咨询，协助您与交警部门沟通，甚至在必要时提起诉讼以维护您的合法权益。

五、考虑提起行政诉讼

如果行政复议未能有效解决问题，您还可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。在诉讼中，您可以请求法院判令交警部门依法履行职责，尽快出具交通事故责任认定书。请注意诉讼时效，一般应当自您知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。

六、其他维权途径

在合法、合理的前提下，您还可以考虑向媒体反映情况，借助媒体的监督作用促使交警部门重视并尽快解决问题。但在与媒体沟通时，请务必确保提供的信息真实准确，避免造成不必要的误解或纠纷。

综上所述，面对交警未出具责任认定书的情况，您应保持冷静、积极应对，并通过多种途径寻求解决方案。在整个过程中，请务必保留好相关证据，以便在需要时为您的合法权益提供有力支持。