核心结论：在开票提额但没有合同的情况下，可以通过补充书面协议、收集交易证据、与对方协商并达成一致、寻求第三方见证或公证以及咨询专业法律意见等方式来解决。以下是具体分析和建议：

1. 补充书面协议：

   • 尽管已经发生了交易行为，但双方仍可以事后补签一份书面合同或协议，明确交易内容、金额、发票开具及提额等条款。
   • 书面协议是证明双方交易关系和权利义务的重要依据，有助于在税务、审计等环节提供有力支持。

2. 收集交易证据：

   • 在没有书面合同的情况下，应尽可能收集其他能够证明交易关系的证据，如订单、发货单、收货单、付款凭证、聊天记录等。
   • 这些证据可以形成完整的证据链，证明双方确实存在交易行为，从而支持开票提额的请求。

3. 与对方协商并达成一致：

   • 与交易对方进行沟通，说明开票提额的必要性和原因，争取对方的理解和支持。
   • 如果对方同意提额，可以要求对方出具书面确认函或同意书，作为开票提额的依据。

4. 寻求第三方见证或公证：

   • 如果双方对开票提额存在争议或难以达成一致，可以考虑寻求第三方（如行业协会、商会等）的见证或公证机构的公证。
   • 第三方见证或公证可以增加开票提额的合法性和可信度，有助于解决争议。

5. 咨询专业法律意见：

   • 在处理开票提额问题时，如果涉及复杂的法律关系或存在法律风险，建议咨询专业律师的意见。
   • 律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和解决方案，帮助你合法合规地处理开票提额问题。

额外建议：

• 在未来的交易中，建议尽量签订书面合同，明确双方的权利义务和交易细节，以避免类似问题的发生。
• 如果交易对方拒绝配合或存在欺诈行为，应及时采取法律手段维护自己的合法权益。