结论：网络公共赔礼道歉和私下出面赔礼道歉拒不执行，一般情况下不会直接导致拘留，但若涉及法院判决或裁定，拒不执行可能构成拒不执行判决、裁定罪，从而面临刑事处罚，包括拘留（在刑事诉讼过程中作为强制措施）或更严重的刑罚。
分析说明：
赔礼道歉的性质：
- 赔礼道歉通常是一种民事责任承担方式，用于弥补因侵权行为给对方造成的精神损害。它可以是私下的，也可以是在公开场合进行的，具体取决于侵权行为的性质、影响范围以及双方当事人的协商结果。
拒不执行赔礼道歉的后果：
- 如果赔礼道歉是双方自愿协商达成的和解协议的一部分，或者是在调解过程中达成的调解协议的一部分，那么拒不执行可能构成违约，对方可以依据协议向法院提起诉讼，要求履行或赔偿损失。但这种情况下，一般不会直接导致拘留。
- 如果赔礼道歉是法院判决或裁定的一部分，即法院明确要求侵权人向受害人赔礼道歉，那么拒不执行就可能构成拒不执行判决、裁定罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。这里的“拘役”即是一种拘留形式，但它是作为刑事处罚的一部分，在刑事诉讼过程中作为强制措施执行。
实际操作中的考虑：
- 在实际操作中，法院在判决或裁定赔礼道歉时，通常会考虑侵权行为的性质、影响范围以及受害人的诉求等因素。如果侵权人拒不执行，法院可能会采取一系列强制执行措施，如查封、扣押财产等，以迫使侵权人履行义务。
- 如果侵权人仍然拒不执行，且情节严重，法院可能会将案件移送公安机关立案侦查，追究侵权人的刑事责任。
特殊场景：
- 在某些特殊情况下，如侵权行为涉及公共利益或社会秩序，且侵权人拒不执行赔礼道歉的判决或裁定，法院可能会更迅速地采取强制执行措施，并可能将案件移送公安机关以追究刑事责任。
建议：
- 如果您是侵权人，且法院已经判决或裁定您需要向受害人赔礼道歉，建议您积极履行义务，以避免不必要的法律后果。
- 如果您是受害人，且侵权人拒不执行赔礼道歉的判决或裁定，您可以向法院申请强制执行，并考虑是否需要将案件移送公安机关以追究侵权人的刑事责任。
行动建议：
- 在面对此类问题时，建议首先咨询专业律师以获取具体的法律建议和指导。律师可以根据您的具体情况，为您提供更详细、更准确的法律分析和建议。
- 如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供针对性的法律服务。