针对您提出的“农村人在永久基本农田建厨房，乡镇农业部门会如何处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，需要明确的是，永久基本农田是受到严格保护的，严禁用于非农业建设，包括建房、建厨房等行为。这是根据国家相关法律法规和政策规定，为了保障国家粮食安全和农业可持续发展而设定的红线。
对于农村人在永久基本农田上建厨房的行为，乡镇农业部门（通常与自然资源部门有紧密合作，负责土地管理和农业用地保护）会采取以下措施进行处理：
发现与制止：
- 乡镇农业部门会通过日常巡查、群众举报或卫星遥感监测等方式，及时发现此类违法行为。
- 一旦发现，会立即制止建设行为，并要求当事人停止施工，恢复土地原状。
调查与核实：
- 乡镇农业部门会组织人员对违法行为进行调查，核实建设情况、土地性质、建设时间等信息。
- 同时，会收集相关证据，如现场照片、视频、询问笔录等，为后续处理提供依据。
依法处理：
- 根据调查结果，如果确认是违法占用永久基本农田建房（包括厨房），乡镇农业部门会依据《中华人民共和国土地管理法》等相关法律法规，对当事人进行处罚。
- 处罚措施可能包括：责令限期拆除违法建筑、恢复土地原状、罚款等。对于情节严重的，还可能追究刑事责任。
后续监管：
- 乡镇农业部门会加强对该区域的后续监管，确保违法建筑被彻底拆除，土地得到恢复。
- 同时，会加强宣传教育，提高农民对土地保护和法律法规的认识，防止类似违法行为再次发生。
鼓励合规建设：
- 对于有建房需求的农村村民，乡镇农业部门会引导其按照合法程序申请宅基地，确保建设行为符合土地利用总体规划和村庄规划。
- 提供必要的指导和帮助，促进农村建设的合规性和有序性。
建议：
- 如果您或您身边的农村村民有建房需求，请务必先向村集体经济组织或村民小组、村民委员会提出申请，并经过乡镇人民政府审批后再进行建设。
- 切勿在永久基本农田或其他受保护的土地上进行非农业建设，以免面临法律处罚和土地恢复成本。
- 积极配合乡镇农业部门的监管工作，共同维护土地资源的合理利用和农业可持续发展。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时咨询。